例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？

　　解一：我们采用“假设”方法求解.

　　如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有

　　240∶x=8∶5，x=150（元）.

　　实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

　　答：张家收入720元，李家收入450元.

　　解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

　　我们画出一个示意图：

　　张家开支的3倍是（8份-240）×3.

　　李家开支的8倍是（5份-270）×8.

　　从图上可以看出

　　5×8-8×3=16份，相当于

　　270×8-240×3=1440（元）.

　　因此每份是1440÷16=90（元）.

　　张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.

　　本题也可以列出比例式：

　　（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.

　　然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.

　　例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.

　　解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.

　　8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

　　A数是17×8=136，B数是17×5=85.

　　答：A，B两数分别是136与85.

　　本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.

　　例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？

　　解一：充分利用已知数据的特殊性.

　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，

　　新的1份=原来1份+1

　　原来4份，新的5份，5-4=1，因此

　　新的1份有15-1×4=11（张）.

　　小明原有图画纸11×5-15=40（张），

　　小强原有图画纸11×2+8=30（张）.

　　答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.

　　解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）

　　4∶3=20∶15

　　5∶2=20∶8.

　　但现在是20∶8，因此这个比的每一份是

　　当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.

　　解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.

　　把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

　　从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.

　　因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.

　　例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.