实则不然，只要把上面那个表中C的名字划去重新统计就会发现，仍然是一票制的情况下，结果会变成D高于B高于A，原先得票垫底的D才应该拿到这个offer！

　　（事实上，如果你有兴趣，可以把退出的人从C换成D或者B或者A，你会发现在这个例子里无论谁退出竞争，剩下的人的得票顺序都会整个颠倒过来。——当然这是精心构造的例子，一般说来不至于这么离谱。）

　　这个例子反映了投票制度的“混沌性”，或者说，结果对扰动的敏感依赖性。大家都知道的一句描述混沌现象的名言是“某地的一只蝴蝶扇动翅膀也许会影响到某一场飓风”，那么在这里我们可以说，“某一个次要竞争者的变化，也许会影响到重量级竞争者的崛起或者覆灭。”一个类似但是复杂得多的例子是在2008年年初的民主党党内初选中，希拉里和奥巴马双雄鼎立，希拉里略占优势。而爱德华兹一直屈居第三，终于在“超级星期二”来临之前的1月底宣布退出竞争，他的退出很快打破了希拉里和奥巴马的平衡，部分地促成了奥巴马在超级星期二之后的十连胜，最终逼得希拉里退选。

　　混沌性是由选举制度本身决定的，但是对不同的选举制度来说，其“混沌”的程度有所区别。关于排序投票制，D.Saari给出过下面的结果：对于三个以上的候选人来说，大多数排序投票制都会容许一些特例使得选举结果在某一候选人退出时发生所有可能的剧变，只有少数投票法，例如Borda计票法，能够在一定程度上避免这种变化的幅度，例如至少避免原本排名第一的候选人忽然变成排名垫底。

　　这看起来像是说Borda计票法比别的排序投票制都要好，但是这要看是在什么意义上说。毕竟，Borda计票法要求每个选民都要对所有的候选人有一个完整的倾向排序，这在实践中往往是不可能实现的事情。而且正如上面的结果所描述的那样，即使采用了Borda计票法，也不能从根本上排除混沌的存在。

　　事实上，在投票这件事情上，我们面对的不仅是简单的数字游戏，而是人类社会最本质的问题之一：如何才有可能把社会中每个成员的意见，综合成为一个社会的整体意见？有趣的是，对这个问题最好的回答之一是以数学形式得到的。经济学巨擎，1972年诺贝尔经济学奖得主K.Arrow在他的成名作SocialChoiceandIndividualValues中给出了著名的Arrow定理，在这里考虑的是比投票更为普遍的情况，即如果一个集体中每个成员都对给定的一系列选项（或者候选人）有一组偏好顺序，那么一个“社会选择机制”能够在多好的程度上得到一个综合的排序？换句话说，需要找到一个函数，把所有人的排序映射为一个综合的排序，关于这个函数我们有下面这些自然的标准：

　　非独裁性：这个函数的输出意见不能总是等于同一个人的输入意见，也就是说，不存在一个人的意见总是凌驾于所有人的意见之上。

　　帕雷托最优：如果在每个人的排序中A都优于B，在输出结果中A也应当优于B。

　　无关因素独立性：如果人们对C的看法改变了，不应当影响到结果中A和B的相对排序。

　　Arrow定理是说，只要有三个或更多的候选者，就不可能存在一个函数，或者说社会选择机制，满足这些标准。

　　这个定理有很多种通俗的（也是容易引起误解的）解释和陈述方式，比如“所有的投票都不公平”或者“唯一理想的决策方式是独裁”，等等。但是事实上通过前面的讨论，我们很容易意识到这三个条件里最苛刻的是最后一条，即无关因素独立性。前两条看起来都是很自然的要求（事实上帕雷托最优性也有其争议性，不过这一点按下不表），只有第三条，我们已经看到，受制于投票机制的混沌特征，是非常难于满足的。

　　这一结论看似是令人失望的。它意味着我们这个社会不仅暂时还不完美，而且永远都不会完美。正像我们在许许多多别的领域中看到的那样，这种不完美似乎是造物主的限定，也就是说，它并非出于某种粗糙的错误，而是理性和逻辑的必然。无论是数学中，还是自然科学中，这样的例子都数不胜数。

　　但是也正像许许多多别的领域中类似的例子那样，正是这些不完美才构成了这个世界的迷人之处。有了对现实中的不完美的解剖，和对更好的理想的无限追求，我们才有了演进的动力。正如深刻的理解了大洋彼岸这传奇式的经验和教训，我们才能更了解自己前进的方向一样。

　　而在这一切之中最迷人之处，则是这样复杂的现实可以被这样优美的数学所描述和论证。——诚然，人们对这个课题中的大量细节还所知甚少，还有大量的悖论等待澄清，大量的工具等待发明，但是第一步已经走了出去，人们已经意识到，人类的社会生活本身是有可能在某种程度上被数学语言所刻画和约束的。自上世纪中叶以来，在这个领域中已经产生了若干位诺贝尔经济学奖得主，也诞生了若干深刻漂亮的数学成果。社会科学和数学的交互作用已经成为蔚为大观的潮流。

　　而正像D.Saari在一篇名为《数学与投票》的文章中所说的那样，还有更多的挑战和机会就在前面等待着，一切还只是个开始而已。