例 5 把 1 至 8 八个数分别填入图中的八个○内，使每个圆周上五个数的和都等于 21。

　　解：设两个圆的交叉点上的两个○内各是 a、b。那么，在计算两个大圆 周上 10 个数的和时，a、b 两数都多加了一次，所以 1+2+⋯⋯+8+a+b 除以 2 应该是 21，即 36+a+b=21×2，从而得 a+b=6。

　　在 1 至 8 八个数中，只有 1 和 5，2 和 4 这两组数的和是 6。

　　(1)如果中间两个○内分别填 1 和 5，另外三个○①内三个数的和都应 当是 21-6=15，在 2，3，4，6，7，8 这六个数中，和相等的数只有 2，6，7 和 3，4，8。

　　(2)如果中间两个○内填 2 和 4，其他的数可分成两组 1，6，8 和 3，5，7，分别填入○中。

　　例 6 把 1 至 7 七个数填在右图的○内，使每条线上三个数的和都相等。

　　(1988 年无锡市小学生数学竞赛试题)

　　解：本题是例 3 的发展，设中心数为 x，其余各数分别为 a、b、c、d、e、f。根据例 3 的分析，x 可取 1、4、 7。

　　(1)当=1 时，则得每条线上三个数的和为 10。

　　a+b+c+d+e+f=28-x=-27。 但 a+c+e=10，b+d+f=10，

　　于是 a+b+c+d+e+f=20。两种结果产生矛盾，因此，x 不能为 1。

　　(2)当 x=4 时，则得每条线上三个数的和为 12。

　　a+b+c+d+e+f=28-x=24。

　　但 a+c+e=12，b+d+f=12， 于是 a+b+c+d+e+f=24。

　　两种结果一致，因此，x 可为 4。

　　因为 1+7+4=12，6+2+4=12，5+3+4=12，而且 7+2+3= 12，1+6+5=12， 所以可得解。

　　图中当 1 的位置确定后，5 与 6 可以对换，(3 与 2 也相应的对换)，因 此有两种不同的形式。而 1 在外圈上有三个位置可选择，有三种不同形式， 这样就有 2×3=6 种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换，因 此，本题有 6×2=12 种不同形式。

　　(3)当 x=7 时，无解。

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