例 2 把 4 至 12 填在 3×3 的方格内，制成三阶幻方。 解：(1)求幻和：(4+5+⋯⋯+12)÷3=72÷3=24。

　　(2)求中心数：∵72+3b2=24×4，∴3b2=24，∴b2=8。(3)确定四角 数：由上题九个数中有五个为奇数，中心数为奇数，四角数为偶。现在九个数中五个为偶数，中心数为偶数，猜想四角数应为奇数，经验证这个猜想是 正确的，所以在四个角上填 7、5、9、11。填其余数字就容易了(如图 6)

　　数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、 既辐射又封闭的复合型数阵。

　　例 3 将 1 至 7 七个数字填入图中的圈内，使每条线上的三个数的和相等。

　　解：首先确定中心数。不妨设中心数为 a，则 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3整除。所以， (28+2a)÷3=28÷3+2a÷3。其中，28÷3 商 9 余 1。因此，2a÷3 的余数必须是 2，那么当 a 是什么数时 2a÷3 的余数才是 2 呢?为此， 我们在 1～7 六个数中试验选择如下：

　　当 a=1 时， 2a÷3=2÷3 商 0 余 2;(符合要求) 当 a=2 时， 2a÷3=4÷3 商 1 余 1;

　　当 a=3 时， 2a÷3=6÷3 商 2 余 0;

　　当 a=4 或 7 时，余数也是 2。(符合要求)

　　所以，当 a=1、4、7 时，2a÷3 的余数是 2，即中心数为 1，4，7。

　　当 a=l 时，(28+2)÷3=10，所以除中心数外，其他两个数的和是

　　10-1=9，只要把 2、3、4、5、6、7 按和为 9 分成三组填入○内即可。 当 a=4 时，(28+8)÷3=12，除中心数外其他两个数的和为 8。

　　当 a=7 时， (28+14)÷3=14，除中心数外其他两个数的和为 7。

　　例 4 将 1 至 6 分别填入圈内，使各边上三个○内数字和相等。

　　解：首先应确定三个顶点上○内的数字。

　　用 k 表示每边上三个○内的数字和，用 a、b、c 分别表示三个顶点○内的数字，因为三个顶点上的数在求和时多用了一次，所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c=3k，21+a+b+c=3k，即 k=(21+a+b+c)÷3。

　　又因为 a、b、c 可以分成七组数：1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；1，2，6;1，3，5；2，4，6。

　　我们把这四组 a+b+c 的和与 k 的值列表如下：

　　从表中看出，当 a+b+c 的最小值是 1+2+3=6 时，k 的最小值是 9。 当 a+b+c 的值最大是 4+5+6=15 时，k 的最大值是 12。

　　1.当 a+b+c=6，k=9 时，a、b、C 分别是(1，2，3)、(1，3，2)、

　　(2，1，3)、(2，3，1)、(3，1，2)、(3，2，1)，那么，其余三个

　　○内分别填 4、5、6。我们可以填出六种解法：

　　从上面答案可发现，只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得

　　到其余的五个解。我们把第一个解叫做基本解，其余的五个解看作与基本解是同一个解。

　　2.当 a+b+c=9，k=10 时，试验如下：

　　(1)如果 a=1，b=2，c=6(如右图)，那么在三角形底边上只有填 2， 才能使底边上○内数的和是 10，但这样重复，因此无解。

　　(2)如果 a=1，b=3，c=5，那么其余三个○内分别填 2、4、6，得本题 的第二个基本解。

　　(3)a=2，b=3，c=4 时，无解。

　　3.当 a+b+c=12，k=11 或 a+b+c=15，k=12 时，用上面同样的方法得 到下面的两个基本解：

　　从上面分析，我们可以看到，每一个基本解可得六个解，本题共有 24

　　个解，但是今后解答这类问题时，只要求基本解就可以了。