三、余数

　　在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：

　　65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.

　　上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是

　　被除数÷除数=商……余数.

　　上面两个算式可以写成

　　65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.

　　也就是

被除数=除数×商+余数.

　　通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.

　　特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.

　　例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.

　　解：这个质数能整除

　　5397-15＝5382，

　　而 5382＝2×3¹⁹⁹⁷×13×23.

　　因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.

　　当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.

　　例18 求645763除以7的余数.

　　解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

　　645763→15763→1763→363→13→6.

　　如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：

　　645763→15000→1000→6.

　　带余除法可以得出下面很有用的结论：

　　如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.

　　例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

　　解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即

　　1000-967＝33＝3×11，

　　2001-1000＝1001＝7×11×13，

　　2001-967＝1034＝2×11×47.

　　这个整数是这三个差的公约数11.

　　请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.

　　例如，求出差1000-967与2001-1000，

　　那么差

　　2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）

　　＝1001＋33

　　＝1034.

　　从带余除式，还可以得出下面结论：

　　甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.

　　例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.