然而，阿基米德并未就此停止。他对公牛数目另外又提出了两项限制条件，从而使这问题变得难多了：

　　8．白公牛＋黑公牛＝一个平方数。

　　9．花斑公牛＋黄公牛＝一个三角数。

　　问题最后说：“如果你已算出这群牛的总数，噢！朋友，你俨然就是一个征服者了，不消说，你就是数字科学方面的专家了。”

　　阿基米德的牛群问题由于采用了三角数和平方数的概念而与华达哥拉斯的工作有关。公元前6世纪，毕达哥拉斯及其追随者用圆点布置成三角、四方或其他几何图形来表示数。如3、6和10这些数被称为三角数，因为它们可由构成三角的圆点来表示

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　　西门从海中拽出的鱼的数目153也是一个三角数。由于同样的原因，像4，9和16这些数被称为平方数，因为它们可以用圆点布置成正方形来表示：

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　　不要以为古人为断定某个特定的数是否可以由特定的几何圆点图形表示而耗费长时间去胡写乱画，要知道，解决这一问题存在一种纯数的方法。所有三角数都可由连续的整数（从1开始）相加得出；如3＝1＋2，6＝1＋2＋3，以及10＝1＋2＋3＋4。所有的平方数都可由整数的平方得出：4＝2×2，9＝3×3，及16＝4×4。

　　由于用三角数和平方数对公牛进行限制，牛问题变得非常棘手，两千年里没有取得真正的进展。1880年，一位德国研究者在经过枯燥计算之后表明：符合所有8项条件的最小的牛头数为一个有206，545位数的数，该数是以776开头的。阿基米德可能是一个有魔力之人，但他决不是个现实主义者：西西里小岛上决不会容下这样一群牛。正如一位数理论家所说：“即使它们是最小的微生物――不，即使它们是电子，一个以从地球到银河的距离为半径的圆也只能包含这种动物的很小一部分。”

　　但没人认为缺乏现实感会妨碍数学研究。20年后的1899年，伊利诺斯希尔斯伯勒的一位土木工程师和他的几位朋友组成希尔斯伯勒数学俱乐部，致力于发现余下的206，542位数。经过4年运算后，他们最后宣布，他们发现了12位最右边的数，又另外发现了28位最左边的数，但后来证明他们算的数都弄错了。60年后，3位加拿大人运用计算机首次发现了全部的答案，但他们从未予以公开发表。1981年，当出自劳伦斯？利弗莫尔国家实验室的克雷1号巨型计算机的47页硬拷贝缩印在《趣味数学》杂志上时，全部的206，545位数才最终公布于世。

　　当时，克雷1号是世界上运算最快的计算机。克雷巨型计算机是昂贵的――最新型号值2，000万美元，实验室和公司不会买它来解决古老的数论问题。购买它是用于配制新的药物，勘探石油，破译苏联密码，在好莱坞电影中造成辉煌的特别效果以及模拟太空武器。

　　然而，人们常常让巨型计算机解决数论史上棘手的计算问题，以便证明它们是否运转正常。计算这种问题的好处是可以轻易地对其答案――即使以前不知道这些答案――进行检验：将它们还原到其等式中去。阿基米德的牛群问题正是在劳伦斯？利弗莫尔实验室检验克雷1号时得以解决的。这台巨型计算机仅用10分钟就发现了206，545位数的答案，并两次检验了这一问题的运算。

　　让我们以一个阿基米德曾处理过而我们也许能解决的问题来结束本节吧。希伦给金匠一定量的金子（设其重量为W）制造皇冠。当希伦收到那顶皇冠时，他请阿基米德鉴定它是否含有全部的金子，或金匠是否偷走了一些而代之以较廉价的金属。公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威是这样记载的：“阿基米德反复琢磨这一问题，一天他偶然来到洗澡间，在那儿，他注意到，当他坐进浴缸里，漫出浴缸的水的数量等于他浸在浴缸中的身体所排出的水量。这一点向他暗示了解决这一问题的方法，于是他立即欣喜地跳出浴缸，光着身子向家奔去，并大声喊着他已发现了他寻找的东西。因为当他跑的时候，他反复大声地用希腊语叫道，我找着啦！我找着啦！”

　　他找到了什么？阿基米德领悟到：既然金是密度最大的金属，那么，重量为W的纯金皇冠的体积会比同样重量搀假的金皇冠的体积要小些。他让一个容器装满水并投进重量为W的金子。然后他将溢出来的水收集起来，这些水的体积与该金子的体积相等。下一步他让另一个容器装满水，皇冠在监督之下被放入水中。果然，它排出的水体积较大，证明那位卑劣的金匠偷去了希伦国王的金子。