目录

　　目录    - 1 -

　　（一） 数的整除    - 2 -

　　（二） 数字谜    - 6 -

　　①    横式字谜    - 6 -

　　②             竖式字谜    - 8 -

　　（三） 定义新运算    - 11 -

　　（四） 行程问题    - 15 -

　　①    追击及遇问题    - 15 -

　　②    火车过桥    - 19 -

　　（五） 列方程解应用题    - 22 -

　　（六） 抽屉原理    - 27 -

　　（七） 不规则图形面积计算（1）    - 30 -

　　（八） 不规则图形面积计算（2）    - 34 -

　　（九） 逻辑推理    - 39 -

　　（十） 牛吃草    - 41 -

　　（十一） 流水行船    - 45 -

　　（十二） 奇数与偶数    - 47 -

　　（十三） 周期性问题    - 52 -

　　（十四） 植树问题    - 56 -

　　（十五） 有趣的树阵图    - 59 -

　　（十六） 有趣的树阵图练习    - 63 -

　　（一） 数的整除

　　如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。

　　数的整除的特征：

　　（1）    能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

　　（2）    能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

　　（3）    能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

　　（4）    能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

　　（5）    能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

　　（6）    能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

　　（7）    能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

　　（8）    能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

　　一、例题与方法指导

　　例1.     一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.

　　思路导航：

　　一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能

　　23 0 56 0 或23 8 56 8

　　又 230560 88=2620

　　238568 88=2711

　　所以,本题的答案是2620或2711.

　　例2.     123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.

　　思路导航：

　　因为36=9 4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.

　　所以,这个数的个位上的数最小是0.

　　例3.     下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已

　　991个   991个

　　知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.

　　思路导航：

　　33…3□44…4

　　991个    991个

　　=33…3 10993+3□4 10990+44…4

　　990个                       990个

　　因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要

　　990个     990个

　　3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

　　例4.     有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.

　　思路导航：

　　三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有

　　当和为33时,三个数是10,11,12；

　　当和为66时,三个数是21,22,23；

　　当和为99时,三个数是32,33,34.

　　所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

　　[注]"三个连续自然数的和必能被3整除"可证明如下：

　　设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则

　　n+(n+1)+(n+2)

　　=3n+3

　　=3(n+1)

　　所以， 能被3整除.

　　二、巩固训练

　　1.    有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.

　　2.    一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.

　　3.    任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.

　　4.    有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.

　　1.  118

　　符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.

　　所以,所求的和是39+79=118.

　　2． 195

　　因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15 15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13 13=169不合要求,13 15=195适合要求.所以,答案应是195.

　　3.  9