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奥数常用解题方法之一:枚举法

奥数网整理 2012-04-27 09:34:44

  在进行归纳推理时,如果逐个考察了某类事件的所有可能情况,因而得出一般结论,那么这结论是可靠的,这种归纳方法叫做枚举法.

  1. 在研究问题时,把所有可能发生的情况一一列举加以研究的方法叫做枚举法(也叫穷举法)。

  2. 用枚举法解题时,常常需要把讨论的对象进行恰当的分类,否则就无法枚举,或解答过程变得冗长、繁琐、当讨论的对象很多,甚至是无穷多个时,更是必须如此。

  3. 枚举时不能有遗漏。当然分类也就不能有遗漏,也就是说,要使研究的每一个对象都在某一类中。分类时,一般最好不重复,但有时重复没有引起错误,没有使解法变复杂,就不必苛求。

  4. 缩小枚举范围的方法叫做筛选法,筛选法遵循的原则是:确定范围,逐个试验,淘汰非解,寻求解答。

  例题: 已知甲、乙、丙三个数的乘积是10,试问甲、乙、丙三数分别可能是几?

  分析: 在寻找问题的答案时,应该严格遵循不重不漏的枚举原则,由于10的因子有1、2、5、10,因此甲、乙、丙仅可取这四个自然数,先令甲数=1、2、5、10,做到不重不漏,再考虑乙、丙的取法。

  解:

  因为10的因子有:1、2、5、10,故甲、乙、丙三数的取法可列下表:

  甲=1 乙=1 丙=10

  乙=2 丙=5

  乙=5 丙=2

  乙=10 丙=1

  甲=2 乙=1 丙=5

  乙=5 丙=2

  甲=5 乙=1 丙=2

  乙=2 丙=1

  甲=10 乙=1 丙=1

  总共得到问题的九组解答。

  甲=1 、1、1、1 、2、2、5、5、10

  乙=1 、2、5、10、1、5、1、2、1

  丙=10、5、2、1 、5、1、2、1、1

  说明

  如果没有枚举的思想,只是盲目地猜试,既费时间,又有可能重复或漏掉解答。

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