学而思奥数天天练栏目每日精选中等、高等难度试题各一道。中难度试题适合一些有过思维基础训练、考 题学习经历，并且奥数成绩中上的学生。高难度试题立足于杯赛真题、综合应用和加深各知识点，适合一些志在竞赛中 夺取佳绩的学生。

　　·本周试题由学而思奥数名师精选、解析，以保证试题质量。

　　·每周末，我们将一周试题汇总为word版本试卷，您可下载打印或在线阅读。

　　·每道题的答题时间不应超过15分钟。答案明日公布！

　　难度：★★★★

　　完全平方数:

　　能不能找到自然数n，使凡，n +97都是完全平方数？

　　【答案】

　　假如存在，不妨设a×a=n+97，b×b=n。那么a×a-b×b=a²-b²=(a+b)×(a-b)=97，以为97是素数（质数），所以如果成立，那么a-b=1，a+b=97
　　a=49, b=48
　　那么n=48×48=2304 n+97=49×49
　　所以存在n为48的平方。


 

　　难度：★★★★★

　　试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。

　　【答案】

　　四位数可以表示成
　　a×1000＋a×100＋b×10＋b
　　＝a×1100＋b×11
　　＝11×（a×100＋b）
　　因为a×100＋b必须被11整除，所以a＋b＝11，带入上式得
　　四位数＝11×（a×100＋（11－a））
　　＝11×（a×99＋11）
　　＝11×11×（9a+1)
　　只要9a＋1是完全平方数就行了。
　　由a＝2、3、4、5、6、7、8、9验证得，
　　9a＋1＝19、28、27、46、55、64、73。
　　所以只有a＝7一个解；b＝4。
　　因此四位数是7744=11²×8²