例12 要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？

分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

　　（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

　　（2）称重2克，有3种方案：

　　①增加一个1克的砝码；

　　②用一个2克的砝码；

　　③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。

　　（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

　　（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。

　　（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

　　9-（3+1）=5，

　　即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。

　　而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

　　14+13=27（克），

　　可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。

　　总之，砝码的重量为1，3，3²，3³克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

　　这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1，3，

　　这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案。