奥数练习——牛吃草问题详解
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是:
1、草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数)；
2、原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
3、吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
4、牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：
1、(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2、牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
例子：一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽?
摘录条件：27头6天原有草+6天生长草
23头9天原有草+9天生长草21头?天原有草+?天生长草
解答：这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢?这是第二次比第一次多的那(9-6)=3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢?
(27-15)×6=72
那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
原有草量(27-15)×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12(天)
方程解答：
在学习到方程。这题目很容易解决。
利用以上例子我们有以下解法：
方程解答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，每头牛每天吃草1份。
那么可以列方程：
x+6y=27×6
x+9y=23×9
解得：x=72,y=15
若放21头牛，设n天可以吃完，则：
72+15n=21nn=12天
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