9、有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？

　　分析：1994=1993+1=1+1993

　　=1992+2=2+1992

　　=……

　　=998+996+996+998

　　=997+997

　　解 ：一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和。

　　点金术：采用有限穷举法并考虑到加法交换律。

　　10、试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

　　分析：把14分拆成两个自然数的和，共有7种不同的方式。对每一种分拆计算相应的乘积：

　　14=1+13，        1×13=13；       14=2+12，        2×12=24；

　　14=3+11，        3×11=33；       14=4+10，        4×10=40；

　　14=5+9，         5×9=45；        14=6+8，         6×8=48；

　　14=7+7，         7×7=49。

　　因此，当把14分拆为两个7之和时，乘积（7×7=49）最大。

　　点金术：巧用举例法分析得出结论。

　　11、把14分拆成若干个自然数的和，在求出这些数的积，要使得到的乘积最大，应把14如何分析？这个最大的乘积是多少？

　　分析：先考虑分成哪些数时乘积才尽可能地大。

　　首先分成的数中不能有1，这是显然的。

　　其次，分成的数中不能有大于4的整数，否则可以将这个数再拆成2与另外一个数的和，这两个数乘积一定比原数大，例如7就比它分成的2和5的乘积小。

　　再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3

　　注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中如果有三个2，不如换成两个3，既分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。

　　解：根据上面的分析，因把14分成四个3与一个2之和，

　　即：

　　14=3+3+3+3+2

　　这五个数的积最大，且最大值为3×3×3×2=162。

　　点金术：巧用排除和举例法架起已知与未知之间的联系。

　　12、有一些自然数，它可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和，求满足上述条件的最小自然数。

　　分析：设满足要求的最小自然数为11，由9个连续自然数的和是中间的数（第5个数）的9倍知，n是9的倍数；

　　同理，n是11的倍数；

　　又10个连续自然数a1,a2,…,a10的和为：

　　（a1+a10）×10÷2=5(a1+a10)

　　是5的倍数，所以n是5的倍数；

　　而9，11，5两两互质，所以n是5×9×11=495的倍数，由n的最小性取n=495，事实上，有：

　　495=51+52+53+…+59（9个连续自然数之和）

　　=45+46+47+…+54（10个连续自然数之和）

　　=40+41+42+…+50（11个连续自然数之和）

　　从而知，满足条件的最小自然数是495。

　　点金术：巧用同理的方法把已知和未知之间联系起来。

　　13、把70表示成11个不同的自然数之和，同时要求含有质数的个数最多。

　　分析：先考虑把70表示成11个不同的自然数之和。

　　因1+2+3+……+11=66，现在要将4分配到适当的加数上，使其和等于70，又要使这11个加数互不相等。

　　先将4分别加在后四个加数上，得到四种分拆方法：

　　70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15

　　=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11

　　=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

　　=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11

　　再将4拆成1+3，把1和3放在适当的位置上，仅有一种新方法：

　　70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12

　　再将4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2，分别加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故这样的分拆方法一共有五种。

　　显然，这五种分拆方法中含有质数的个数最多的是：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

　　点金术：巧用举例和筛选法得出结论。

　　用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？

　　分析：用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法是一样的。于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？”

　　解：按5分硬币的个数分21类计数；

　　假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；

　　假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个或2个，既有3种不同的凑法；

　　假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个2个3个4个或5个，既有6种不同的凑法；

　　…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：

　　1+3+6+8+11+13+16+18+21+……+48+51

　　=5×（1+3+6+8）+4×（10+20+30+40）+51

　　=90+400+51

　　=541（种）

　　点金术：巧用转化法假设法架起已知与未知之间的桥梁。

　　15、将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数是______.

　　(1992年武汉市小学数学竞赛试题)

　　讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大.又如果拆分的数中含有1,则与"乘积最大"不符.

　　所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3.

　　但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3.因为2×2×2=8,而3×3=9.

　　所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3.

　　而1992÷3=664.故,这些自然数是664个3.