奇偶问题练习题一

　　1.小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000？

　　【分析】不可能。因为25个奇数相加的和是奇数，25个偶数相加是偶数，奇数加偶数=奇数

　　2.有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。

　　【分析】不可以。一名为98个数中有49个奇数，奇数加偶数等于奇数，奇数不是二的倍数。

　　3.有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，…，20立方厘米水。允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水？

　　【分析】不可能，因为两个奇数相加等于偶数，两个偶数相加等于偶数，11是奇数，B是偶数，偶数不等于奇数。

　　4.一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？

　　【分析】李四是骗子，老实人和说谎的人的人数相等，可是45是个奇数，所以张三是骗子。

　　5.围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上？

　　【分析】不可以，因为不是白字多黑字一个，就是黑子多白字一个，不可能相等。

　　6.某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？

　　【分析】奇数，5*30+15=165   165-6N-4M=奇数减去偶数=奇数    99*奇数=奇数。

　　7.现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。

　　分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：

　　可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。

　　说明：这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来，使问题一目了然。

　　8.有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？

　　解：当币值为偶数时，可以用若干枚2分硬币组成；

　　当币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。

　　说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。

　　若偶数用2k表示，奇数用2k+1表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下：

　　当币值为偶数时，2k说明可用若干枚2分硬币表示；

　　当币值为奇数时，

　　2k+1=2（k-2）+5，

　　其中k≥2。当k=0，1时，2k+1=1，3。1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成，而其他币值均可由2分和5分硬币组成。

　　9.设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？

　　解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由于

　　999=7×142+5，

　　因此，灯A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。所以，当小华拉动999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。

　　10.桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚，第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。

　　分析：对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。

　　解：按规定的翻动，共翻动1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到

　　77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38），

　　根据规定，可以设计如下的翻动方法：

　　第1次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第2次与第77次共翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第3次与第76次，第4次与第75次……第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚硬币都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。

　　说明：（1）此题也可从简单情形入手（如9枚硬币的情形），按规定的翻法翻动硬币，从中获得启发。

　　（2）对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。

　　11.在8×8的棋盘的左下角放有9枚棋子，组成一个3×3的正方形（如左下图）。规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳（如右下图的1号棋子可以跳到2，3，4号位置）。问：这些棋子能否跳到棋盘的右上角（另一个3×3的正方形）？

　　解：自左下角起，每一个方格可以用一组数（行标、列标）来表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格记为（i，j）。问题的关键是考虑9枚棋子（所在方格）的列标的和S。

　　一方面，每跳一次，S增加0或偶数，因而S的奇偶性不变。另一方面，右上角9个方格的列标的和比左下角9个方格的列标之和大

　　3×（6+7+8）-3×（1+2+3）=45，

　　这是一个奇数。

　　综合以上两方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那个3×3的正方形里。

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