奇偶分析习题18

　　5．能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和？

　　6．在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分。今有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局。现知，其中有一位学生共得7分，另一位学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。

　　7．在黑板上写上1，2，…，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b（其中a≥b）。问：最后黑板上剩下的是奇数还是偶数？

　　8．设a1，a2，…，a64是自然数1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64；

　　c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32；

　　d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16；

　　……

　　这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数？

答案：

　　5.不能。提示：仿例3。

　　6.证：设得7分的学生胜了x1局，败了y1局，得 20分的学生胜了x2局，败了y2局。由得分情况知：

　　x1-y1=7，x2-y2＝20。

　　如果比赛过程中无平局出现，那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数。另一方面，由x1- y1=7知x1+y2为奇数，由x2-y2=20知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数。这便出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局。

　　7.奇数。解：黑板上所有数的和S＝1+2+…＋909是一个奇数，每操作一次，总和S减少了a+b-（a-b）=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。

　　8.偶数。

　　解：我们知道，对于整数a与b，a+b与a-b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数

a1-a2， a3-a4，…，a63-a64，

　　分别与下列32个数
 

a1+a2， a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，这就是说，在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”，这样可以把原来的计算过程改为

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64；

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64；

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64；

　　……

　　最后一步所得到的数是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一个排列，因此它们的总和为1+2+…+64是一个偶数，故最后一个整数是偶数