什么是数学化，数学化的内涵是什么？

     数学化是弗赖登塔尔数学教育思想的核心，在弗赖登塔尔（(H.Freudenthal,1905—1990)是国际上极负盛名的荷兰数学家和数学教育家.）看来，数学化有横向（水平）数学化和纵向（垂直）数学化之分，横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里符号的生成，重塑和被使用”。也可以这样理解：横向数学化的产物是生成生活与数学的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。

如何处理好横向与纵向数学化的关系？

    弗赖登塔尔原来并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。原因是如果用双重的二分法分别从横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成四种类型，且分别对应着的哲学观：
1、缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义：
2、横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义；
3、横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义：
4、横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义。当下我国基础教育数学课程改革倡导现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。数学课要上出数学味。选择横向的和纵向的数学化两个标准，来设计和分析数学教学，会帮助教师更好地理解自己教学设计的明确的或含蓄的意图，防止数学教学偏离现实主义的正确道路。

   例如，小学一年级学生怎样学习加法呢?首先，要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几文铅笔?其次，指导学生参与活动：
①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；
②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；
②数一数你的本子上一共画了几个小圆圈?
④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义?

  让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：2十3＝5或3十2＝5，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数或运算符号的意义。进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构。