运用通性通法，让数学课堂在变中出彩

　　——数学复习教学中的体会

　　摘要:数学综合复习的目的是在短时间内帮助学生熟练掌握所学知识，为进一步的学习打好基础。而运用通性通法进行“变式训练”是完成这一目标的良好方法之一。本文从结构上、题目上、方法上、思维上四个方面进行变式训练。从逻辑推理上演绎出几个或一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化。培养学生运用数学思想方法分析问题、解决问题、探究创新以及灵活多变的思维能力。

　　关键词: 通性通法；变式训练；中考复习；数学思想

　　中考数学复习是初中学生进行系统学习的最后阶段，总复习的效果直接影响着学生对数学知识的掌握程度，是调动学生复习主动性和积极性，提高复习效率的关键，由于总复习是知识的再现过程，学生容易产生厌倦心理，如何上好复习课，使学生易于接受，乐于接受。这就需要我们老师吃透《数学课程标准》，掌握课程考试纲要，熟练驾驭教材，重视通性通法，注重变式训练，让数学课堂在变中出彩。

　　数学学习贯穿这两条主线，即数学知识和数学思想方法。通性通法蕴含着丰富的数学思想和方法，更贴近学生的思想认识水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力，复习时要让学生熟练掌握通性通法，并能够灵活应用，而对那些适用面窄，局限性大的特殊技巧应予以淡化，以免削弱对通性通法的复习和训练。在初中数学中，常用的数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想、整体思想等。应在解决问题的过程中加以揭示、运用和提炼，并在专题复习阶段进一步系统化，对于常用于数学解题的配方法、换元法、待定系数法等通法，尽管各自有其不同的特点和应用范围，但他们都是解决数学问题的强有力的工具，应在基础知识复习阶段进行渗透、解释和运用，并在专题复习阶段进行系统化的训练，要注意运用通性通法积累一些常规的解题方法，形成常规的解题意识和能力。下面就自己在现阶段初三数学复习教学中的一点做法供大家探讨：

　　一、变通知识结构，系统知识脉络

　　数学教材是按循序渐进，螺旋式上升的原则进行编排的，复习时若再按章节一一回顾知识要点，学生会觉得枯燥乏味，心生厌烦，也不利于知识系统的形成。心理学研究表明新鲜事物容易使人产生兴趣，激发好奇心、求知欲。总复习阶段学生已经失去了上新课时的那种热情和新鲜感，因此，教师要调整知识结构，让知识以另一副面孔呈现。

　　根据学生的认知规律，教材在内容编排上往往把某些知识分散介绍。在总复习时，应将这些知识运用通性通法，进行系统整理，给学生以整体全面的知识结构体系。例如，方程、不等式与函数是初中代数的重要内容，看似相互独立的三块知识结构，实际上是紧密联系，相辅相成的教学内容，在复习一次函数时，可利用图像阐明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之间的联系。而二次函数，可利用图像阐明它和一元二次方程、一元二次不等式的联系。这样的知识整理可让学生对函数、方程、不等式有更全面的理解，在对旧知识进行梳理时，进行多角度的审视，而不是机械的重复，让学生耳目一新的同时，体会数学的紧密性、逻辑性和严谨性。

　　二、改编题目条件，实现知识迁移

　　题目变通包括条件的探究，即增加、减少或变更条件；结论的探究，即结论是否唯一；引申探究，即命题是否推广；数与形的探究等。利用此类变通方法，可以使学生掌握一类题的解法，即解题通法。其实解题不仅可以查漏补缺，检查知识的掌握情况，还能够通过解题提炼出解题方法，解题技巧，培养学生运用数学思想方法分析问题、解决问题、探究创新以及灵活多变的思维能力。

　　例如（2007年江西省中考试题）如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）

　　[说明]此题是运用矩形对角线互相平分，且其交点在等腰△AOB的顶角平分线上来解决问题。

　　变式1   如图2，已知∠AOB，⊙P与∠AOB的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）。

　　变式2  如图3，已知∠AOB，E，F两点分别在OA，OB上，四边形EOFP是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）。

　　变式3  如图4，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）

　　本题组是将起点题中的矩形分别变换成圆、菱形、平行四边行，通过不同知识解决同一问题，使学生的思维得以发散。

　　事实上，许多课本习题都是由编写者精心筛选，匠心独运命制而成的，具有丰富的内涵，平时解题时应引导学生进行解题反思。既要反思题目的条件与结论之间因果关系能否交换，又要注意命题条件能否等价的更换，结论能否拓展、引申与推广，图形的结构能否发生变化，怎样变化？从而培养学生的数学思维方法的变通，因为总结的过程需要涉及许多相关知识，因此，有的学生不愿意在这方面下功夫，而忽略了它，但真正做起来就会觉得其妙无穷，因为总结解决的不仅是解一道题，更为重要的是学生在这一过程中参与了创造性思维活动这一点绝非单纯的解多少道题目所能比及的，如果教师能引导学生认真做好解题后的反思总结，横穿纵拓地探索，必能激起学生探求数学奥秘的动机，对数学学习产生浓厚兴趣。久而久之，就可以让学生学到总结归纳的方法，达到“做一题，通一类，会一片”举一反三，触类旁通的功效。

　　三、变换解题方法，感受数学思想

　　对于解题方法而言，当从某个角度难以入手时，换一个角度的灵活多变，各种不同思路，不同方法的分析比较，是形成创新意识，创新能力的源泉。通过有意识的精选可用多种思路来完成的典型题，利用方法变通，可帮助学生找到解题的“切入点”，领会数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化等数学思想，掌握换元法、配方法、待定系数法等常用数学方法。

　　例如图（1）是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形，把图（1）剪开后，再拼成一个四边形，用来验证公式a2-b2=(a+b)(a-b)

　　在第一个同学拿出方法一后，马上就有同学展示了方法二，在接下来的讨论中同学们纷纷给出了方法三的（1）、(2)、(3)三种方案，每个同学都跃跃欲试，都体验了自己的成功，课堂因不同的方法而变得精彩。

　　四、变通思维方式，培养创新能力

　　“数学是训练思维的体操”。思维变通往往指的是以上几种变通的综合，尤其是题目变通和方法变通。在中考数学复习教学过程中，利用此类变通问题可以培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，从而更好地挖掘学生的潜能，提高学生的综合素质。

　　例如：如图，在小河l的同旁有牛栏A和草地B，牛每天要先到河边饮水，然后到草地吃草。请问牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

　　这是一道典型的几何作图试题，它涉及轴对称，两点之间线段最短，尺规作图等数学知识，若将这道题稍加变式，则能激起学生更大的思维浪花。

　　变式1：一束光线从y轴上点A(0,2)出发，经过x轴上点P反射后经过点B(4,6)，则点P坐标------

　　变式2：在上题中，试在轴上找一点，使PB-PA的值最大，则点P坐标-------

　　思路分析：若P、A、B不在一直线上，则PB-PA<AB；若P、A、B在一直线上，则PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB,，其最大值为AB，所以P(-2,0)

　　老师在展示这道变式题时学生的兴致很高，尤其是基础比较扎实，成绩比较优秀的学生收效甚好。

　　在变式探究过程中，学生的思维逐步深入，并影响着课堂的气氛，课堂常常因变化的奥妙精彩而推向高潮。教学的关键不是记住结论，而是经历探究的过程，感受数学的研究方法，促进数学能力的提高，只有在运用通性通法进行不断变式演练中，才能提高解题能力。通过变式教学，有意识、有目的地引导学生从“不变”的本质中探究“变”的规律，使思维在所学知识中游刃有余，顺畅飞翔。

　　中考试卷中的新题型知识考查的载体，在总复习时不能将新题型的复习游离于通性通法之外，应重视“选题”和“变式”训练，通过编式训练帮助学生多角度理解知识，掌握数学知识中蕴含的数学思想和方法，从而达到灵活运用的目的，如何挖掘每个数学问题的“营养价值”来达到“以少胜多”、“举一反三”、“融会贯通” 的功效。是数学教师锤炼自身内功的一个追求目标，精选的例题、习题既要能体现通性通法，即既包含数学思想方法，又要适量“难、新、活、宽”的题目做到难而不怪、新而不奇、活而不乱、宽而不偏。从而使数学课堂在变中出彩。

　　参考文献：

　　[1]裴光亚  《中学数学复习的战略决策》中学数学教学参考2008（1-2）

　　[2]王锋    《教学生做一题，通一类，会一片》中小学数学2007（1-2）