14.3  列不定方程解应用题

　　有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。

　　例10 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？

　　解：设该班有x个男生和y个女生，于是有

　　4x+3.25y=3.6（x+y），

　　化简后得8x=7y。从而全班共有学生

　　在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以

　　推知x＝21，y=24。

　　答：该班有21个男生和24个女生。

　　例11 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？

　　解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得61分可列方程

　　9x+5y+2（10-x-y）=61，

　　化简后得7x=41－3y。

　　显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5。

　　答：小明至多套中小鸡5次。

　　例12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）。问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？

　　分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低，在配套下安排生产。

　　我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣，做裤子效率高的多做裤子，才能使所做衣服套数最多。

　　一般情况，设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子，它们的比为在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。

　　设甲组生产上衣x天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣y天，生产裤子（7-y）天，则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（条）。依题意，得

　　42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，

　　令u＝42＋8x＋9y，则

　　显然x越大，u越大。故当x=7时，u取最大值125，此时y的值为3。

　　答：安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计125套。

　　说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。