第八讲 比和比例关系

　　比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.

　　这一讲分三个内容：

　　一、比和比的分配；

　　二、倍数的变化；

　　三、有比例关系的其他问题.

　　8.1  比和比的分配

　　最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.

　　例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.

　　解：设甲的周长是2.

　　甲与乙的面积之比是

　　答：甲与乙的面积之比是864∶875.

　　作为答数，求出的比最好都写成整数.

　　例2 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？

　　解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是

　　答：这些糖果每千克平均价是27.5元.

　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

　　事实上，有稍简捷的解题思路.

　　解二：先求出这三种糖果所买数量之比.

　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

　　平均数是（15+11+10）÷3=12.

　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是

　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.

　　例3 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

　　解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此

　　例4 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？

　　解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.

　　三人工作效率之比是

　　他们分别需要完成的工作量是

　　所需时间是

　　700×3=2100分钟）=35小时 .

　　答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.

　　这是三个数量按比例分配的典型例题.

　　例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：

　　甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，

　　那么丙有多少名男会员？

　　解：甲组的人数是100÷2=50（人）.

　　乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.

　　答：丙组有12名男会员.