4.2  构造法

构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。

例5 9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？

解：9999能。因为9999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下：

9999=（9998-98）+（9998-96）+…+

=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+

=（9998+96）+（9998+98）。

99！不能。因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。

说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。

例6 从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？

解：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999。

另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。

（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，

（30，33，30×33），（31，32，31×32）。

上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31×32=992。如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，30是最少的个数。