全国站
奥数网

全国站
奥数网

第二讲 比和比例

网络 2009-07-14 15:08:11

 
  在应用题的各种类型中,有一类与数量之间的(正、反)比例关系有关.在解答这类应用题时,我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断.

  成正比或反比的量中都有两种相关联的量.一种量(记作x)变化时另一种量(记作y)也随着变化.与这两个量联系着,有一个不变的量(记为k).在判断变量x与y是否成正、反比例时,我们要紧紧抓住这个不变量k.如成正比例;如果k是y与x的积,即在x变化时,y与x的积不变:xy=k,那么y与x成反比例.如果这两个关系式都不成立,那么y与x不成(正和反)比例.

  下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始.

  例1 下列各题中的两种量是否成比例?成什么比例?

  ①速度一定,路程与时间.

  ②路程一定,速度与时间.

  ③路程一定,已走的路程与未走的路程.

  ④总时间一定,要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间.

  ⑤总产量一定,亩产量和播种面积.

  ⑥整除情况下被除数一定,除数和商.

  ⑦同时同地,竿高和影长.

  ⑧半径一定,圆心角的度数和扇形面积.

  ⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数.

  ⑩圆的半径和面积.

  (11)长方体体积一定,底面积和高.

  (12)正方形的边长和它的面积.

  (13)乘公共汽车的站数和票价.

  (14)房间面积一定,每块地板砖的面积与用砖的块数.

  (15)汽车行驶时每公里的耗油量一定,所行驶的距离和耗油总量.

  分析 以上每题都是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢?关键是能否把两个
种形式,或只能写出加减法关系,那么这两种量就不成比例.例如①

×零件数=总时间,总时间一定,制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例.③路程一定,已走的路程和未走的路程是加减法关系,不成比例.

  解:成正比例的有:①、⑦、⑧、(15)

  成反比例的有:②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)

  不成比例的有:③、⑩、(12)、(13).

  例2 一条路全长60千米,分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长的比依次是1:2:3,某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6,已知他上坡的速度是每小时3千米,问此人走完全程用了多少时间?

  分析 要求此人走完全程用了多少时间,必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间,必须知道走上坡路的速度(题中每小时行3千米)和上坡路的路程,已知全程60千米,又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3,就可以求出上坡路的路程.

  解:上坡路的路程:

   例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3,现在再加入6克锌,共得新合金36克,求新合金内铜和锌的比?

  分析 要求新合金内铜和锌的比,必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量.应该注意到铜和锌的比是2∶3时,合金的重量不是36克,而是(36-6)克.铜的重量始终没有变.

  解:铜和锌的比是2∶3时,合金重量:

  36-6=30(克).

  铜的重量:

  新合金中锌的重量:

  36-12=24(克).

  新合金内铜和锌的比:

  12∶24=1∶2.

  答:新合金内铜和锌的比是1∶2.

  例4 师徒两人共加工零件168个,师傅加工一个零件用5分钟,徒弟加工一个零件用9分钟,完成任务时,两人各加工零件多少个?

  例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台,生产5天后由于改进技术,效率提高25%,完成计划还要多少天?

  分析这是一道比例应用题,工效和工时是变量,不变量是计划生产5天后剩下的台数.从工效看,有原来的效率1600÷20=80台/天,又有提高后的效率80×(1+25%)=100台/天.从时间看,有原来计划的天数,要求效率提高后还需要的天数.

  根据工效和工时成反比例的关系,得:

  提高后的效率×所需天数=剩下的台数.

  解法1:设完成计划还需x天.

  1600÷20×(1+25%)×x=1600-1600÷20×5

  80×1.25×x=1600-400

  100x=1200

  x=12.

  答:完成计划还需12天.

 

 

 

 

 

 

 

相关推荐

点击查看更多
首页 导航