被囚禁的公主
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2009-06-17 17:48:07
有位公主被囚禁在一座城堡里，这座城堡四面的厢房围绕着长方形的中庭，每个角落都有一座高塔。公主就是被关在某座高塔上最顶层的房间里，白天公主可以在最上面两层的长廊上散步。四面的厢房每一层都有一条长廊贯穿其间，每一座高塔中则有楼梯连接上下层楼。为了消磨时间，这位公主想看看到底有多少条不同的路线，可以让她在城堡中走动。
有几种不同的路线，可以让她从位于塔顶的房间，走到对角的塔中下面一层的房间？在行走的路线中，不可以重复经过任何一点，也不可以上楼。
如果可以上楼，又有几种不同的路线？
解答与分析
这个题目有助于增进对三维空间的思考能力。
首先画出简图，或是用吸管分别代表长廊与楼梯做出模型(图1)，这样可以帮助思考。设计一套记录行走路线的符号也很重要。
在不上楼的情况下，有12种可能的路线(图2)。其中所标示的数字请参考图1。
如果可以上楼，那么还会有另外6条路线：
1-4-5-6-7-2-3-8
1-2-7-6-5-4-3-8
1-6-7-2-3-8
1-6-5-4-3-8
1-6-7-2-3-4-5-8
1-6-5-4-3-2-7-8
这些答案都是以1386所形成的平面为界，成对出现。
从这个题目还可以引申出许多不同的问题。例如，如果公主可以重复经过高塔里的房间，但不可以重复经过长廊或楼梯，那么有几条可能的路线？有几条路线可以让公主走到她房间楼下的房间？
如果公主可以在三层楼之间走动，那么在两个定点之间，会有几条可能的路线？
试着研究有不同数目高塔的城堡的类似问题，看看你是否能发现任何公式。
