超难硬币小游戏
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2009-06-17 17:45:56
把10枚硬币排成一直线，如图所示。每次移动时，拿起一枚硬币，让它跳过两枚硬币后落在另一枚硬币上。请证明只要移动5次，就可以把这些硬币两两叠成一摞，排成5摞，而且彼此距离相等。这个游戏并不像看起来那么容易！
如果硬币在跳过两枚硬币之后，可以落在空位或是落在另一枚硬币上，那么请找出由多少硬币排成直线时，可以两两叠成一摞(每一摞硬币之间的距离不必相等)？最少要移动几次？
解答与分析
将7放在10上，5放在2上，3放在8上，1放在4上，9放在6上。因为到最后硬币是两两相叠，因此硬币数一定是偶数。两枚硬币的情形与题目条件不合，至于其他偶数枚硬币的情形可以用下列方法解答。
4枚硬币
有4枚硬币时，有一步必定要跳到空位上，因此最少需要移动3次。
6枚硬币
经过试验之后可以发现，如果不跳到空位上一次，将无法得到答案。同时，移动一次之后，问题就简化成4枚硬币排成一直线的情况，因此总共需要移动4次。
8枚硬币
有8枚硬币时，可用以下图示的方法，移动4次，使8枚硬币配对完成。在此过程中并没有出现任何一个移动硬币到空位上的步骤。
2n枚硬币(n≥4)
在n≥4的情形下，2n枚硬币可以在n次移动之后，成为n叠两枚一摞的硬币。这个结论可以用数学归纳法证明。下面用14枚硬币的例子，说明如何得到这个结论。
首先将11移到14，然后9移到13，7移到12，这样在这排硬币的末端就会形成3叠两枚一摞的硬币，前面留下一排8枚单独的硬币，而这个部分又可以用前面的方法得到答案。这是介绍归纳法很好的例子，可以轻易地转变成正式的数学证明题。
