解析几何解题方法集锦
俗话说:"知己知彼,才能百战百胜",这一策略,同样可以用于高考复习之中。我们不仅要不断研究教学大纲、考试说明和教材,而且还必须研究历年高考试题,从中寻找规律,这样才有可能以不变应万变,才有可能在高考中取得优异成绩。纵观近几年的高考解析几何试题,可以发现有这样的规律:小题灵活,大题稳定。
一、解决解析几何问题的几条原则
1.重视"数形结合"的数学思想
2.注重平面几何的知识的应用
3.突出圆锥曲线定义的作用
二、解析几何中的一类重要问题
直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题,它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系,熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用,力争准确地解决问题。
弦长问题:|AB|= 。
弦的中点问题:中点坐标公式-----注意应用判别式。
三、高考解析几何解答题的类型与解决策略
Ⅰ.求曲线的方程
1.曲线的形状已知
这类问题一般可用待定系数法解决。
例1 (1994年全国)
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。
设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:
A/( ),B/( )。因为A/、B/均在抛物线上,代入,消去p,得:k2-k-1=0.解得:k= ,p= .
所以直线L的方程为:y= x,抛物线C的方程为y2= x.
例2 (1993年全国)
在面积为1的△PMN中,tanM= ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。
分析:此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题,但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程,而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单,应以MN所在直线为x轴,以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程,其中有两个未知数。
2.曲线的形状未知-----求轨迹方程
例3 (1994年全国)
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 ( >0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
分析:如图,设MN切圆C于点N,则动点M组成的集合是:
P={M||MN|= |MQ|},由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M点坐标代入,可得:( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.
当 =1时它表示一条直线;当 ≠1时,它表示圆。
这种方法叫做直接法。
例4 (1999年全国)
给出定点A(a,0)(a>0)和直线L:x=-1,B是直线L上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
分析:设C(x,y),B(-1,b).则直线OB的方程为:y=-bx.由题意:点C到OA、OB的距离相等,且点C在线段AB上,所以
y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0
若,y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a);若y=0,则b=0,∠AOB=180?,点C的坐标为(0,0),也满足上式。所以,点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)。
当a=1时,方程表示抛物线弧;当0<a<1时,方程表示椭圆弧;当a>1时,方程表示双曲线一支的弧。
一般地,如果选择了m个参数,则需要列出m+1个方程。
例5 (1995年全国)
已知椭圆 和直线L: ,P是直线L上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上,且满足|OQ| |OP|=|OR|2,当点P在L上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
分析:设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR), 则
,代入
,得: (x-1)2+ (y-1)2=1.
注意:若将点P、Q、R分别投影到x轴上,则式子 可用|x| |xP|=|xR2|代替,这样就简单多了。
Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题
1.有关最值问题
例6 (1990年全国)
设椭圆中心为坐标原点,长轴在x上,离心率,已知点P(0, )到这个椭圆上的点的最远距离是 ,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P的距离等于 的点的坐标。
分析:最值问题,函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数,然后利用函数的知识求其最大值。
设椭圆方程为 ,则由e= 得:a2=4b2,所以x2=4b2-4y2.
设Q(x,y)是椭圆上任意一点,则:
|PQ|= = (-b y b).
若b< ,则- <-b,当y=-b时|PQ|max= .
解得:b= - > 与b< 矛盾;若b ,则当y=- 时|PQ|max= ,解得:b=1,a=2.
2.有关范围问题
例7 (2001春季高考题)
已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p。
(1)求a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。
分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:"求范围,找不等式"。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:"最值问题,函数思想"。
解:(1)直线L的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得:设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则 ,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:
,
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|= ,所以S△NAB= ,即△NAB面积的最大值为 2。
例8 (1992年高考题)
已知椭圆 ,A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),证明: .
分析:欲证x0满足关于参数a、b的不等式,须从题中找出不等关系,由椭圆的性质可知,椭圆上的点的坐标满足如下条件:-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x0与x的关系。
由题设知,点P在线段AB的垂直平分线上,所以|AP|=|BP|,若设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因为点A、B在椭圆上,所以,
,从而由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,可得:
例9 (2000年高考题)
已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E满足 ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,当 时,求双曲线离心率e的取值范围。
分析:显然,我们只要找到e与 的关系,然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。
解:如图建立坐标系,这时CD⊥y轴,
因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
依题意,记A(-C,0),C( h),E(x0,y0),其中c= 为双曲线的半焦距,h是梯形的高。
由 ,即(x0+c,y0)= ( -x0,h-y0)得:x0= .设双曲线的方程为 ,则离心率e= 。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e= 代入双曲线的方程得
将(1)式代入(2)式,整理得 (4-4 )=1+2 ,故 =1 .
依题设 得 ,解得 .
所以双曲线的离心率的取值范围是 .
例10 已知抛物线y2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点,求p的取值范围。
分析:解决本题的关键是找到关于p的不等式。
设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x1,y1)、N(x2,y2),设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程,得:x2+(2b-2p)x+b2=0.则x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上,所以2p- b=1,即b=2p-1。
又 =(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得:
0<p< .
是否存在常数a、b、c,使函数f(x)= 满足下列条件:
(1)函数f(x)是奇函数;
(2);f(1)<f(3) ;
(3)不等式0≤f(x)≤ 的解集是[-2,-1]∪[2,4]?
若存在,则求出不等式f(-2+sinθ) ≤m对任意θ∈R恒成立的实数m的取值范围;若不存在,说明理由。
解:由函数f(x)是奇函数得:b=0。又不等式0≤f(x)≤ 的解集是[-2,-1]∪[2,4],所以-2、-1、2、4是程f(x)=0与f(x)= 的根,从而:
,解得:a=2,c=-4,故:
f(x)= 。