德国数学家大卫?希尔伯特（1862～1943）是20世纪最伟大的数学家之一．他对数学的贡献是巨大的和多方面的，研究领域涉及代数不变式，代数数域，几何基础，变分法，积分方程，无穷维空间，物理学和数学基础等．他在1899年出版的《几何基础》成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”，可以说希尔伯特是近代形式公理学派的创始人．1900年希尔伯特38岁时在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演．在讲演中，他根据19世纪数学研究的成果与发展趋势，以卓越的远见和非凡的洞察力，提出了新世纪所面临的23个问题．这23个问题涉及现代数学的大部分重要领域（著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分），对这些问题的研究有力地推动了20世纪各个数学分支的发展．下面是发生在希尔伯特年轻时候的故事。

    老师在课堂上现想现推

    1880年秋天，18岁的希尔伯特进人家乡的哥尼斯堡大学，他不顾当法官的父亲希望他学习法律的愿望，毫不犹豫地进了哲学系学习数学（当时的大学，数学还设在哲学系内）．希尔伯特发现当时的大学生活要多自由有多自由．意想不到的自由，使许多年轻人把大学第一年的宝贵时光都花费在学生互助会的传统活动饮酒和斗剑上，然而对希尔伯特来说，大学生活的更加迷人之处却在于他终于能自由地把全部精力给予数学了．

　 大学的第一学期，希尔伯特选学了积分学，矩阵论和曲面的曲率论三门课．根据规定。第二学期可以转到另一所大学听课，希尔伯特选择了海德尔堡大学，这是当时德国所有大学中最讨人喜欢和最富浪漫色彩的学校．希尔伯特在海德尔堡大学选听拉撒路?富克斯的课．富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和线性微分方程几乎成了同义语．他讲课确实与众不同，给人的印象很深．课前他不大做准备，对要讲的内容，在课堂上现想现推．于是常常发生这样的情形，某个问题在黑板上推不下去了，这时他就再想另外一种方法，有时一连要换好几种方法，但他最后总能推导出结果来．他就是这样，习惯于在课堂上把自己置于危险的境地．这样的课学生们如何看呢？他的一位学生后来回忆时写道：这样的课，使学生们“得到一个机会，瞧一瞧最高超的数学思维的实际过程．”

    可以想象，善于思考和学习的希尔伯特肯定会从中领悟到一个数学家是如何思考问题的，这种包括几经碰壁终于找到解法的探索过程在教科书上无论如何是看不到的．把思考问题的实际过程展现给学生看，这样做实际上是非常富于启发性的．我国著名的数学方法论专家徐利治教授认为这一点对希尔伯特的成长肯定起过很好的作用．我想这一点对我们今天也很有启发．学习数学不仅要学会这道题的解法，而且更要学会这个解法是如何找到的．即学会思考．