三年级奥数知识--一笔画问题
哥尼斯堡是一座人杰地灵的名城。在这里,帕瑞格尔河从城中穿过,河中有两个小岛A与D,河上有七座桥连结这两个岛及河的两岸B、C(图1)。人们提出一个问题:能否经过每座桥恰好一次,既无重复也无遗漏,为了便于解决实际生活中的一笔画问题,可以把类似这样的问题进一步抽象成一般的数学图??一种简单的几何图形,如图1可抽象成几何图2(用点A、B、C、D表示四块陆地,用连结这些点的线表示七座桥,这样就便于研究它。)
实际问题是否一笔画,应具备的条件有:
(1)必须是连通图形(如△,而非○);
(2)对于图中的任何一点,有偶数条线段与之相连的连通图能够一笔画(如□,☆)。画时可以以一“偶数点”为起点,最后仍回到起点。
(3)只有两个奇数条线段与之相连的点的连通图也能一笔画,画时必须以一“奇数点”为起点,以另一“奇数点”为终点。
(4)有超过两个“奇数点”的连通图不能一笔画。
〔问题解决〕
1.“七桥问题”中“奇数点”个数为4个,所以不能一笔画成。
2.你能笔尖不离纸,一笔画出图3的每个图形吗?
分析 图(a)有两个奇数点,可从任一“奇数点”出发,以另一“奇数点”为终点一笔画出。A→B→C→A→D→C;图(b)、图(C)都是“偶数点”的连通图,可从任一点出发,一笔画出。如图(b)A→G→C→B→F→H→B→A,图(c)A→B→E→B→C→i→l→E→D→F→J→H→i→c→A
3.数学兴趣小组的同学们不但会制“七巧板”,还会制“六巧板”、“四巧板”呢。图4是用小华制的“四巧板”拼成的“船”。如果画在一张纸上你能否用剪刀一次连续剪下“船”中的每个图形吗?再还原拼成“四巧板”。
分析 一次连续剪下图中的四个图形,要求剪刀必须连续剪过图中所有的线,即问题的实质是这个图能否一笔画。显然,图中只有两个“奇数点”A、D,因此,可以很快判断能办到,剪刀所走的路线可以是:A→B→C→A→D→C→G→H→I→J→G→F→E→D。
剪好后拼成原“四巧板”即为图5。
4.图6是一个公园的平面图,要使游客走遍公园每条路而不重复,问出入口应设在哪里?
分析 本题实际上是问这个图以哪点为起点与终点的问题,观察图6可以发现;图中10个点中仅有两个“奇数点”A与I,因此出入口应设在A点与I点。