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第八讲 比和比例关系

www.jiajiao100.com 2004-04-19 09:34:00

 

  比和比例,是小学数学中的最后一个内容,也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式,处理倍数、分数等问题,要方便灵活得多.我们希望,小学同学学完这一讲,对“除法、分数、比例实质上是一回事,但各有用处”有所理解.

  这一讲分三个内容:

  一、比和比的分配;

  二、倍数的变化;

  三、有比例关系的其他问题.

一、比和比的分配

  最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系,求出新的比.

  例1 甲、乙两个长方形,它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2,乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.

  解:设甲的周长是2.

    

  甲与乙的面积之比是

  

  答:甲与乙的面积之比是864∶875.

  作为答数,求出的比最好都写成整数.

  例2 如右图,ABCD是一个梯形,E是AD的中点,直线CE把梯形分成甲、乙两部分,它们的面积之比是10∶7.

  求上底AB与下底CD的长度之比.

  解:因为E是中点,三角形CDE与三角形CEA面积相等.

  三角形ADC与三角形ABC高相等,它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积

  =(10-7)∶(7×2)= 3∶14.

  答:AB∶CD=3∶14.

  两数之比,可以看作一个分数,处理时与分数计算几乎一样.三数之比,却与分数不一样,因此是这一节讲述的重点.

  例3 大、中、小三种杯子,2大杯相当于5中杯,3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和,求与之比.

  解:大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4,

  中杯与小杯容量之比是4∶3,

  大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.

  ∶

  =(10×2+4×3+3×4)∶(10×5+4×4+3×3)

  =44∶75.

  答:两者容量之比是44∶75.

  把5∶2与4∶3这两个比合在一起,成为三样东西之比10∶4∶3,称为连比.例3中已告诉你连比的方法,再举一个更一般的例子.

  甲∶乙=3∶5,乙∶丙=7∶4,

  3∶5=3×7∶5×7=21∶35,

  7∶4=7×5∶4×5=35∶20,

  甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

  花了多少钱?

  解:根据比例与乘法的关系,

  

  连比后是

  甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2

  =32∶48∶63.

  

  答:甲、乙、丙三人共花了429元.

  例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子,甲与乙

  

  ,而它们留在墙外的部分一样长.问:甲、乙、丙的长度之比是多少?

  解:设甲的长度是6份.

  

  ∶x=5∶4.

  

  乙与丙的长度之比是

  而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.

  甲∶乙∶丙=30∶25∶26.

  答:甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.

  

  于利用已知条件6∶5,使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.

  例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果,在每种糖果上所花钱数一样多,问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元?

解一:设每种糖果所花钱数为1,因此平均价是

 

  答:这些糖果每千克平均价是27.5元.

  上面解法中,算式很容易列出,但计算却使人感到不易.最好的计算方法是,用22,30,33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母,就有:

  事实上,有稍简捷的解题思路.

  解二:先求出这三种糖果所买数量之比.

  不妨设,所花钱数是330,立即可求出,所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

  平均数是(15+11+10)÷3=12.

  单价33元的可买10份,要买12份,单价是

  下面我们转向求比的另一问题,即“比的分配”问题,当一个数量被分成若干个数量,如果知道这些数量之比,我们就能求出这些数量.

  例7 一个分数,分子与分母之和是100.如果分子加23,分母加32,

  

  解:新的分数,分子与分母之和是(10+23+32),而分子与分母之比2∶3.因此

  

  

  

  例8 加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟,现有1825个零件要加工,为尽早完成任务,甲、乙、丙应各加工多少个?所需时间是多少?

  解:三人同时加工,并且同一时间完成任务,所用时间最少,要同时完成,应根据工作效率之比,按比例分配工作量.

  三人工作效率之比是

  他们分别需要完成的工作量是

  

  所需时间是

  700×3=2100分钟)=35小时 .

  答:甲、乙、丙分别完成700个,600个,525个零件,需要35小时.

  这是三个数量按比例分配的典型例题.

  例9 某团体有100名会员,男会员与女会员的人数之比是14∶11,会员分成三个组,甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是:

  甲:12∶13,乙:5∶3,丙:2∶1,

  那么丙有多少名男会员?

  解:甲组的人数是100÷2=50(人).

  

  乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 (人).

  

  

  答:丙组有12名男会员.

  上面解题的最后一段,实质上与“鸡兔同笼”解法一致,可以设想,“兔

  例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米,路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间?

  解一:通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度,先求出走各段路程的速度比.

  上坡、平路、下坡的速度之比是

 

  

  走完全程所用时间

  

  答:小龙走完全程用了10小时25分.

  上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次,似乎重复计算,最后算式也颇费事.事实上,灵活运用比例有简捷解法.

  解二:全程长是上坡这一段长的(1+2+3)=6(倍).如果上坡用的时

  设小龙走完全程用x小时.可列出比例式

 

二、比的变化

  已知两个数量的比,当这两个数量发生增减变化后,当然比也发生变化.通过变化的描述,如何求出原来的两个数量呢?这就是这一节的内容.

  例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分,乙多得22.5分,则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分?

  解一:甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份,变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来?这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按36份来算.

  5∶4=(5×4)∶(4×4)=20∶16.

  5∶7=(5×3)∶(7×3)=15∶21.

  甲少得22.5分,乙多得22.5分,相当于20-15=5份.因此原来

  甲得22.5÷5×20=90(分),

  乙得 22.5÷5×16=72(分).

  答:原来甲得90分,乙得72分.

  我们再介绍一种能解本节所有问题的解法,也就是通过比例式来列方程.

  解二:设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x.根据得分变化,可列出比例式.

  (5x-22.5)∶(4x+22.5)=5∶7

  即 5(4x+22.5)=7(5x-22.5)

  15x=12×22.5

  x=18.

  甲原先得分18×5=90(分),乙得18×4=72(分).

  解:其他球的数量没有改变.

  增加8个红球后,红球与其他球数量之比是

  5∶(14-5)=5∶9.

  在没有球增加时,红球与其他球数量之比是

  1∶(3-1)=1∶2=4.5∶9.

  因此8个红球是5-4.5=0.5(份).

  现在总球数是

  答:现在共有球224个.

  本题的特点是两个数量中,有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9,就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解:

  (x+8)∶2x=5∶9.

  例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5,开支的钱数之比是8∶3,结果张家结余240元,李家结余270元.问每家各收入多少元?

  解一:我们采用“假设”方法求解.

  如果他们开支的钱数之比也是8∶5,那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元,李家应结余x元.有

  240∶x=8∶5,x=150(元).

  实际上李家结余270元,比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差,每份是120÷(5-3)=60.(元).因此可求出

  答:张家收入720元,李家收入450元.

  解二:设张家收入是8份,李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

  我们画出一个示意图:

  张家开支的3倍是(8份-240)×3.

  李家开支的8倍是(5份-270)×8.

  从图上可以看出

  5×8-8×3=16份,相当于

  270×8-240×3=1440(元).

  因此每份是1440÷16=90(元).

  张家收入是90×8=720(元),李家收入是90×5=450(元).

  本题也可以列出比例式:

  (8x-240)∶(5x-270)=8∶3.

  然后求出x.事实上,解方程求x的计算,与解二中图解所示是同一回事,图解有算术味道,而且一些数量关系也直观些.

  例14 A和B两个数的比是8∶5,每一数都减少34后,A是B的2倍,求这两个数.

  解:减少相同的数34,因此未减时,与减了以后,A与B两数之差并没有变,解题时要充分利用这一点.

  8∶5,就是8份与5份,两者相差3份.减去34后,A是B的2倍,就是2∶1,两者相差1.将前项与后项都乘以3,即2∶1=6∶3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2(份)或5-3=2(份).因此,每份是34∶2=17.

  A数是17×8=136,B数是17×5=85.

  答:A,B两数分别是136与85.

  本题也可以用例13解一“假设”方法求解,不过要把减少后的2∶1,改写成8∶4.

  例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3,小明又买来15张.小强用掉了8张,现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸?

  解一:充分利用已知数据的特殊性.

  4+3=7,5+2=7,15-8=7.原来总数分成7份,变化后总数仍分成7份,总数多了7张,因此,

  新的1份=原来1份+1

  原来4份,新的5份,5-4=1,因此

  新的1份有15-1×4=11(张).

  小明原有图画纸11×5-15=40(张),

  小强原有图画纸11×2+8=30(张).

  答:原来小明有40张,小强有30张图画纸.

  解二:我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数(实际上就是通分)

  4∶3=20∶15

  5∶2=20∶8.

  

  但现在是20∶8,因此这个比的每一份是

 

  

  当然,也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.

  解三:设原来小明有4“份”,小强有3“份”图画纸.

  把小明现有的图画纸张数乘2,小强现有的图画纸张数乘5,所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图:

  从图上可以看出,3×5-4×2=7(份)相当于图画纸15×2+8×5=70(张).

  因此每份是10张,原来小明有40张,小强有30张.

  例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法,却可以充分利用已知数据的特殊性,找到较简捷的解法,也启示一些随机应变的解题思路.另外,解方程的代数运算,对小学生说来是超前的,不容易熟练掌握.例13的解一,也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的,希望读者能很好掌握,灵活运用.从课外的角度,我们更应启发小同学善于思考,去找灵巧的解法,这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法,利于心算,促进思维.

  例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后,粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间?

  

  我们把问题改变一下:设细蜡烛长度是2,每小时点

 

  

  等需要时间是

  答:这两支蜡烛点了3小时20分.

  把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”,思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.

  例17 箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球,15只红球,经过若干次后,箱子里剩下3只白球,53只红球,那么,箱子里原来红球数比白球数多多少只?

  解:因为红球是白球的3倍多2只,每次取15只,最后剩下53只,所以对3倍的白球,每次取15只,最后应剩51只.

  因为白球每次取7只,最后剩下3只,所以对3倍的白球,每次取 7×3=21只,最后应剩 3×3= 9只.因此.共取了(51- 3×3)÷(7×3-15)= 7(次).

  红球有 15×7+ 53= 158(只).

  白球有 7×7+3=52(只).

  原来红球比白球多 158-52=106(只).

  答:箱子里原有红球数比白球数多106只.

三、比例的其他问题

  

  ,这里必须用分数来说,而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系:

  (甲-7)∶乙= 2∶3.

  因此,有些分数问题,就是比例问题.

  

  加33张,他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张?

 

  

  

  答:这些画片有261张.

 

  解:设最初的水量是1,因此最后剩下的水是

 

  

  样重,就有

  因此原有水的重量是

  答:容器中原来有8.4千克水.

  例18和例19,通常在小学数学中,叫做分数应用题.“比”有前项和后项,当两项合在一起写成一个分数后,才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比(或除法)写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比,计算就方便些.

  例20 有两堆棋子, A堆有黑子 350个和白子500个, B堆有黑子

  堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个?

  

  子100个,使余下黑子与白子之比是(40-100)∶100=3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆,拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.

  现在 A堆已有黑子 350+ 100= 450个),与已有白子500个,相差

  从B堆再拿出黑子与白子,要相差50个,又要符合3∶1这个比,要拿出白子数是

  50÷(3-1)=25(个).

  再要拿出黑子数是 25×3= 75(个).

  答:从B堆拿出黑子 175个,白子25个.

  人,问高、初中毕业生共有多少人?

  解一:先画出如下示意图:

  6-5=1,相当于图中相差 17-12=5(份),初中总人数是 5×6=30份,因此,每份人数是

  520÷(30-17)= 40(人).

  因此,高、初中毕业生共有

  40×(17+12)= 1160(人).

  答:高、初中毕业生共1160人.

  

  计算出每份是

  例21与例14是完全一样的问题,解一与例14的解法也是一样的.(你是否发现?)解二是通常分数应用题的解法,显然计算不如解一简便.

  例18,19,20,21四个例题说明分数与比例各有好处,你是否从中有所心得?当然关键还是在于灵活运用.

  下的钱共有多少元?

  解:设钢笔的价格是1.

  

  这样就可以求出,钢笔价格是

  张剩下的钱数是

  李剩下的钱数

  答:张、李两人剩下的钱共28元.

  题中有三个分数,但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位,设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中,设定统一的计算单位是常用的解题技巧.

  作为这一讲最后的内容,我们通过两个例题,介绍一下“混合比”.

  

  用100个银币买了100头牲畜,问猪、山羊、绵羊各几头?

  这是十八世纪瑞士大数学家欧拉(1707~1783)提出的问题.

  们设1头猪和5头绵羊为A组,3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数,B表示B组的数,要使

  (1+ 5)× A+(3+ 2)× B=100,

  或简写成 6A+5B=100.

  就恰好符合均价是1.

  类似于第三讲鸡兔同笼中例17,很明显,A必定是5的整数倍.A=5, B= 4, 6×5+ 5×4=50,50是 100的约数,符合要求.

  A=5,猪 5头,绵羊 25头,

  B=4,山羊12头,绵羊8头.

  猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶(25+8).

  现在已把1∶5和3∶2两种比,组合在一起通常称为混合比.

  

  要注意,这样的问题常常有多种解答.

  A= 5, B=14或 A=15,B=2才能产生解答,相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.

  答:有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10,24,66;或者5,42,53;或者15,6,79.

  求混合比是一种很实用的方法,对数学有兴趣的小学同学,学会这种方法是有好处的,会增加灵活运用比例的技巧.

  通常求混合比可列下表:

 

  下面例题与例23是同一类型,但由于题目的条件,解法上稍有变化.

  例24 某商品76件,出售给33位顾客,每位顾客最多买三件,买 1件按定价,买2件降价 10%,买 3件降价 20%.最后结算,平均每件恰好按原定价的 85%出售,那么买3件的顾客有多少人?

  解:题目已给出平均数 85%,可作比较的基准.

  1人买3件少 5%×3;

  1人买2件多 5%×2;

  1人买1件多 15% ×1.

  1人买3件与1人买1件成A组,即按1∶1比例,2人买3件与3人买2件成B组,即按2∶3的比例.

  A组是2人买4件,每人平均买2件.

  B组是5人买12件,每人平均买2.4件.

  现在已建立了一个鸡兔同笼型问题:总脚数76,总头数33,兔脚数2.4,鸡脚数2.

  B组人数是

  (76-2×33)÷(24-2)= 25(人),

  

  A组人数是 33-25=8(人),其中买 3件4人,买 1件4人.

  10+ 4= 14(人).

  答:买3件的顾客有14位.

  建立两种比的A组和B组,与例23的解题思路完全一致,只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组,不仅要从人数考虑满足2A+5B=33,还要从买的件数考虑满足 4A+12B=76.这已完全确定了A组和B组的数,不必再求混合比.

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