单位分数分拆(过路人,zxc,测试,老杨)
过路人出题
单位分数分拆
把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）
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zxc 把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种） 28的约数有1、2、4、7、14、28 （取1、2）1/28=（1+2）/[28*（1+2）]=1/84+1/42 （取1、4）1/28=（1+4）/[28*（1+4）]=1/140+1/35 （取1、7）1/28=（1+7）/[28*（1+7）]=1/224+1/32 （取1、14）1/28=（1+14）/[28*（1+14）]=1/420+1/30 （取1、28）1/28=（1+28）/[28*（1+28）]=1/812+1/29 （取2、4）1/28=（2+4）/[28*（2+4）]=1/84+1/42（重复） （取2、7）1/28=（2+7）/[28*（2+7）]=1/126+1/36 （取2、14）1/28=（2+14）/[28*（2+14）]=1/224+1/32（重复） （取2、28）1/28=（2+28）/[28*（2+28）]=1/420+1/30（重复） （取4、7）1/28=（4+7）/[28*（4+7）]=1/77+1/44 （取4、14）1/28=（4+14）/[28*（4+14）]=1/126+1/36（重复） （取4、28）1/28=（4+28）/[28*（4+28）]=1/224+1/32（重复） （取7、14）1/28=（7+14）/[28*（7+14）]=1/84+1/42（重复） （取7、28）1/28=（7+28）/[28*（7+28）]=1/140+1/35（重复） （取14、28）1/28=（14+28）/[28*（14+28）]=1/84+1/42（重复） 所以有1/28=1/84+1/42=1/140+1/35=1/224+1/32=1/420+1/30=1/812+1/29=1/126+1/36=1/77+1/44，共7种不同的方法。
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1/28=1/a+1/b，ab=28(a+b)，ab-28a-28b=0，(a-28)(b-28)=28^2=(2^4)*(7^2)，显然，a, b>28；
(2^4)*(7^2)有5*3=15个不同的因数，有7个小于28，有7个大于28
不妨设a<b，则a-28<b-28；且
当a-28取遍(2^4)*(7^2)的小于28的因数时，b-28对应地取遍(2^4)*(7^2)的大于28的因数；
因此满足要求的解共7个
| 过路人 |
对小学而言，例举会简明一些。
我的方法：
对分母进行质因数分解，如N=a×b，a,b均为质数，则可以分拆成：
1/N=1/(a×b)=(1/a)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=1/a(a+b)+1/b(a+b)
如N=a×b×c，a,b,c均为质数，则可以分拆成：
1/N=1/(a×b×c)=(1/ab)×[1/(c+1)+1/c(c+1)]=(1/c)×[1/(ab+1)+1/ab(ab+1)]
=(1/bc)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=(1/a)×[1/(bc+1)+1/bc(bc+1)]
=(1/ac)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(ac+1)+1/ac(ac+1)]
=1/ac(a+b)+1/bc(a+b)=1/ab(a+c)+1/bc(a+c)=1/ab(b+c)+1/ac(b+c)
=1/(abc+1)+1/abc(abc+1)。
（注：abc表示a×b×c，其他同理。）
| 老杨 |
把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）
谈谈我的方法，好像和大家的不完全相同。
这种题目可以非常快的做出来！
28×28＝2^4×7^2
显然28^2共有（5＋1）×（2＋1）＝15个不同的约数。
