二、除法及乘除混合运算中的巧算

　　1.在除法中，利用商不变的性质巧算

　　商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外)，商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

　　例11 计算①110÷5②3300÷25

　　③ 44000÷125

　　解：①110÷5=(110×2)÷(5×2)=220÷10=22

　　②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)=13200÷100=132

　　③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8)=352000÷1000=352

　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

　　例12 864×27÷54=864÷54×27=16×27=432

　　3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

　　例13① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5

　　③2090÷24-482÷24

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　解：①13÷9+5÷9=(13+5)÷9=18÷9=2

　　②21÷5-6÷5=(21-6)÷5=15÷5=3

　　③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24=1608÷24=67

　　④187÷12-63÷12-52÷12=(187-63-52)÷12=72÷12=6

　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×(b÷c)=a×b÷c 从左往右看是去括号，

　　a÷(b×c)=a÷b÷c 从右往左看是添括号。

　　a÷(b÷c)=a÷b×c

　　例14 ①1320×500÷250

　　②4000÷125÷8

　　③5600÷(28÷6)

　　④372÷162×54

　　⑤2997×729÷(81×81)

　　解：① 1320×500÷250=1320×(500÷250)=1320×2=2640

　　②4000÷125÷8=4000÷(125×8)=4000÷1000=4

　　③5600÷(28÷6)=5600÷28×6=200×6=1200

　　④372÷162×54=372÷(162÷54)=372÷3=124

　　⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81=(2997÷81)×(729÷81)=37×9=333

　　例1 计算9+99+999+9999+99999

　　解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

　　9+99+999+9999+99999=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)=10+100+1000+10000+100000-5=111110-5=111105.

　　例2 计算199999+19999+1999+199+19

　　解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如 199+1=200)

　　199999+19999+1999+199+19=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=22225.

　　例3 计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)

　　解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：

　　从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：

　　从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.

　　1990×497+995—1990×497=995.

　　例4 计算 389+387+383+385+384+386+388

　　解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.

　　389+387+383+385+384+386+388=390×7—1—3—7—5—6—4—=2730—28=2702.

　　解法2：也可以选380为基准数，则有

　　389+387+383+385+384+386+388=380×7+9+7+3+5+4+6+8=2660+42=2702.

　　例5 计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6

　　解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.

　　(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6

　　=(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6

　　=(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来，而是运

　　=4940×6÷6+6÷6运用了除法中的巧算方法)

　　=4940+1

　　=4941.

　　例6 计算54+99×99+45

　　解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.

　　54+99×99+45

　　=(54+45)+99×99

　　=99+99×99

　　=99×(1+99)

　　=99×100

　　=9900.

　　例7 计算 9999×2222+3333×3334

　　解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.

　　9999×2222+3333×3334

　　=3333×3×2222+3333×3334

　　=3333×6666+3333×3334

　　=3333×(6666+3334)

　　=3333×10000

　　=33330000.

　　例8 1999+999×999

　　解法1：1999+999×999

　　=1000+999+999×999

　　=1000+999×(1+999)

　　=1000+999×1000

　　=1000×(999+1)

　　=1000×1000

　　=1000000.

　　解法2：1999+999×999

　　=1999+999×(1000-1)

　　=1999+999000-999

　　=(1999-999)+999000

　　=1000+999000

　　=1000000.

　　有多少个零.

　　总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.

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