经典测试卷 数论篇及解析(2)
苏州奥数网整理
2011-08-15 14:53:33
【解析】
1． 因为个位数既是偶数又是质数，所以个位数字为2，又因为个位数与千位数之和为10，所以千位数字为8，因为这个四位数能被36整除，所以能被4与9整除，由于个位数与千位数之和为10，所以百位数与十位数的和除以9余8，又因为百位数与十位数之和不超过18，所以百位数与十位数的和为8或17．由于能被4整除，所以后两位数能被4整除，由于个位数字为2，所以十位数字只能为1，3，5，7，9，若百位数字为9，由于十位数字为奇数，所以其和不能等于8或17，所以百位数字最大为8，此时个位数字为9，且89是质数，符合题意，故答案为8892．
2． 
，由于
数有7个约数，而7为质数，所以
为某个质数的6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果
为
，那么1728不是
的倍数，不符题意，所以
，那么
为
的约数，设
，则
，得
，所以
．
3． 
除以7的余数为1，
，所以
，其除以7的余数为：
；2008除以7的余数为6，则
除以7的余数等于
除以7的余数，为1；所以
除以7的余数为：
．
4． 只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多．
101到2009里面共有
个数．其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5．所以，含有5的因子个数为
．
