余数、同余与周期

 　　一、同余的定义：

 　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

 　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（mod  m），读作a同余于b模m。

 　　二、同余的性质：

 　　①自身性：a≡a（mod  m）；

 　　②对称性：若a≡b（mod  m），则b≡a（mod  m）；

 　　③传递性：若a≡b（mod  m），b≡c（mod  m），则a≡ c（mod  m）；

 　　④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d（mod m），a-c≡b-d（mod m）；

 　　⑤相乘性：若a≡ b（mod  m），c≡d（mod  m），则a×c≡ b×d（mod  m）；

 　　⑥乘方性：若a≡b（mod  m），则an≡bn（mod  m）；

 　　⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整数c，则a×c≡ b×c（mod  m×c）；

 　　三、关于乘方的预备知识：

 　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

 　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

 　　四、被3、9、11除后的余数特征：

 　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod 9）或（mod 3）；

 　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）；

 　　五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（mod p）。