六：余数与同余

　　1、被除数=除数×商+余数

　　我们也可以这样看

　　被除数÷除数=商……余数

　　0≤余数＜除数（这个性质很重要），当余数为0时，就是整除了.

　　2、带余数的除法通常可以转化成整除问题来解决

　　譬如：12=2×5+2，我们可以从以下两个方面考虑：

　　“删减”变整除把2去除暂不考虑，那么12-2=2×5

　　“添加”变整除加上3，那么12+3=3×5

　　这是两个很重要的思路，请同学们认真体会一下！

　　例：1013被一个两位数整除余12，这个两位数是多少？

　　解：1013-12=1001能被两位数整除，1001=7×11×13，所以两位数可能为11、13、77、91，又因为余数＜除数，所以11不符合条件，故这个两位数为13、77或91.

　　3、和的余数等于余数的和（除数相同）

　　例1：a ÷ 5 = △ …… 1 , b ÷ 5 = ○ …… 3 ,

　　则(a+b) ÷ 5 = (△+○) ……(1+3)

　　例2：a ÷ 5 = △ …… 4 , b ÷ 5 = ○ …… 3 ,

　　则(a+b) ÷ 5 = (△+○+1) ……(4+3-5)= (△+○+1) ……2

　　当余数之和大于除数时，我们就再找出余数和除以除数的余数.

　　4、积的余数等于余数的积（除数相同）

　　例1：12÷5=2 ……2    ，6÷5=1……1 ，（12×6）÷5=14……2  ,

　　这个“2”就是“1×2”；

　　例2：14÷5=2 ……4    ，7÷5=1……2 ，（14×7）÷5=19……3 ,

　　这个“3”是“2×4”除5的余数；

　　当余数之积大于除数时，我们就再找出余数积除以除数的余数.

　　5、如果两个整数a和b，均被自然数m整除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。

　　反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。

　　譬如：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

　　所以19-15能被2整除.

　　七：等差数列

　　1、相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示. 我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.

　　2、等差数列的通项公式

　　若a1大于a2，则可推得：

　　an= a1+（n-1）×d

　　在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.

　　3、一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：

　　n= (an- a1 )÷d+1  (若an大于 a1)

　　或 n= (a1- an )÷d+1  (若a1大于 an)

　　4、等差数列求和公式

　　sn = n×(a1+ an)÷2

　　5、中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

　　八：几个常用结论

　　（1）考虑一个数除10余几就是看这个数的个位数是几，对于末两位数字，可以考虑除以4和25的余数（4×25=100）

　　（2）对于个位数字，加减法、乘法、乘方都只需要看运算中数的个位数字，一般的让你找许多数之和、积的个位数，我们都要探讨一下它们其中的规律。

　　譬如：算式1×1+2×2+……+2005×2005结果的个位数字是多少？

　　解:只需要考虑个位上的数，而个位上的数是10个一组进行循环的。

　　1×1=1, 11×11=121, 21×21=441, 31×31=961……

　　2×2=4, 12×12=144, 22×22=484, 32×32=1024……

　　3×3=9, 13×13=169, 23×23=529, 33×33=1089……

　　……

　　1×1+2×2+……+9×9+10×10=285。这就是说当个位为1、2、……、9、0时，所得结果的个位数字为5，从1到2000中有200组，其结果的个位数字是0，而2001×2001+2002×2002+2003×2003+2004×2004+2005×2005的个位数字是5，因此最后结果的个位数字是5。

　　（3）两数和一定时，两数差越小，乘积越大；两数乘积一定时，两数差越小，和越小.