小学1-6年级数学基础概念：公约数、公倍数、互质数

　　什么叫公约数？

　　公约数，亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数。

　　公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1，3，最大公约数就是3。再举个例子，30和40，它们的公约数有1，2，5，10，最大公约数是10

　　什么叫公倍数？

　　公倍数(common multiple)指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数。

　　A和B，A/B=C　如果A能被B整除，则A为B和C的公倍数　两个数A和B，它们的公倍数就是既是A的倍数又是B的倍数的数，即能同时被A、B整除的数 比如说：12和15，它们的公倍数是60，120，180，等等 在这些公倍数中最小的那一个就叫最小公倍数，就是60。

　　如何求最小公倍数

　　1.分解质因数法

　　首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。

　　比如求45和30的最小公倍数。

　　45=3*3*5 　，　30=2*3*5

　　不同的质因数是2，3，5。3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3.

　　最小公倍数等于2*3*3*5=90

　　又如计算36和270的最小公倍数

　　36=2*2*3*3 　，　270=2*3*3*3*5

　　不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多，为两个，所以乘两次；3这个质因数在270个比较多，为三个，所以乘三次。

　　最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540

　　2.倍数关系

　　如果较大数是较小数的倍数，较大数就是它们的最小公倍数。

　　什么叫互质数？

　　定义及定理：对于两个数来看 ，公因数只有1的两个数，叫做互质数。对于多个数来看（教材定义） 若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数。

　　表达及运用注意：

　　（1）这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。

　　（2）“公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。”

　　（3）三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。 两个正整数（N），除了1以外，没有其他公约数时，称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2

　　判定互质数的方法汇总

　　直接分辨法：

　　（1）两个不相同质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。

　　（2）相邻的两个自然数是互质数。例如 15与 16。 　（3）相邻的两个奇数是互质数。例如 49与 51。

　　（4）大数是质数的两个数是互质数。例如 97与 88。

　　（5）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7 和 16。

　　（6）2和任何奇数是互质数。例如 2和 87。

　　（7）1和任何自然数（0除外）都是互质数。

　　计算判定法：

　　（1）两个数都是合数（两数相差较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。 如 357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。

　　（2）两个数都是合数（两数相差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。

　　（3）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221

　　462÷221=2……20      ，  　20=2×2×5。

　　2、5都不是221的约数，则两个数是互质数。

　　（4）减除法。如255与182。

　　255－182=73，观察知 73<182。

　　182－（73×2）=36，显然 36<73。

　　73－（36×2）=1，

　　（255，182）=1。

　　所以这两个数是互质数。