高斯算法

　　卡尔·弗里德里希·高斯是世界著名的数学家。小高斯出生在一个德国的农民家庭里，由于家境贫困，他并没有受过什么早期教育，但他很小的时候就聪颖过人，有很高的数学天赋。小高斯上小学一年级时，有一天，老师出了这样一道数学题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋……＋99＋100=？

　　老师刚刚出完题目，全班小朋友还在埋头计算，小高斯就很快说出了正确答案：5050。

　　小高斯是怎么巧妙地算出答案的呢？

　　原来他通过细心观察，发现1～100这一串数有一个十分明显的特征，即它们相邻两个数的差都相等。若把这100个数，从两头往中间逐个相加，它们的和又都相等：1＋100=2＋98=……=49＋52=50＋50。像这样一共有50（100÷2）个数对，每对的两个数的和为101。所以它们的总和为：

　　（1＋100）×100÷2=101×50=5050

　　归纳出一个公式，是：

　　（首相＋末项）×项数÷2（此公式为“高斯算法”的公式）

　　注：在数学上，人们把1-100这些书中的每个数都叫做一个项，并把这样的一串数称做等差数列。

　　例1：100以内所有奇数的和是多少？

　　分析：100以内的奇数，第一个是1；第二个是3；第三个是5……最后一个是99，乙共有50个数。其和为：   （1＋99）×50÷2=2500

　　答：（略）。

　　例2：1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9……＋25＋26＋27－28=            。

　　分析：仔细观察这个算式，发现它很有规律地出现着一些“减数”。因此，计算时应特别细心。下面介绍三种解法：

　　解法一：变减为加，整体推算。

　　（其中减数为4的倍数，共28÷4=7个）

　　（1＋28）×28÷2－[（4＋28）×7÷2]×2

　　=406－224

　　=182

　　这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的2倍

　　解法二：分组累计。

　　从头算起每四个数为1组，分别计算每组数的得数为：2、10、18……50。其和为：26、34、42

　　（2＋50）×7÷2

　　=182

　　这样想：四个数为1组，28个数即可分成7组。所以项数是7。

　　解法三：加数、减数分别统计。

　　减数全部拿出以后，剩下的加数是：

　　1＋2＋3＋5＋6＋7＋9……＋25＋26＋27，

　　把这些加数每3个一组，并求出每组之和：

　　（1＋2＋3）＋（5＋6＋7）＋（9……）＋（25＋26＋27）

　　=6＋18＋……＋78

　　=（6＋78）×7÷2

　　=294

　　七个减数的和为：

　　（4＋28）×7÷2

　　=112

　　原式的得数为：

　　294－112

　　=182

　　例3：小添添家的大时钟几点钟就敲几下，而且每半点也敲一下。请问，这只时钟一昼夜共敲了多少下？

　　分析：我们先考虑每半点敲的那些，从1点到12点，时钟分别敲了1、2、3……11、12下。利用“高斯算法”求出它们的和，再加上每半钟敲的12下。因为一昼夜是24小时，时针要在钟面上转两圈，所以最后还应乘以2。

　　列式为：

　　［（1＋12）×12÷2＋12］×2

　　=［78＋12］×2

　　=90×2

　　=180（下）

　　答：（略）。

　　例4：有一列数：19、22、25、28……请问，这列数的前99个数（从19开始算起）的总和是多少？

　　分析：求总和，必须先算出这个数列的末项（即第99个数）是多少。仔细观察它们的那前几项，不难发现：后一个数都比它前面的数大“3”（这就叫做这个数列的公差）。如果都与第一个数相比，第二个数比第一个数多3；第三个数比第一个数多2个3；第四个数比第一个数多3个3……由此不难推想出，第九十九个数一定比第一个数多98个3，它是：

　　19＋3×（99－1）

　　=19＋3×98

　　=19＋294

　　313

　　再利用“高斯算法”求和：

　　（19＋313）×99÷2

　　=16434

　　由此归纳出求末项的公式：

　　首项＋公差×（项数－1）=末项

　　例5：从“99”开始，每隔三个数写出一个数来：99、103、107、111……求“1999”是这数中的第几个数？

　　分析：求项数的思考方法与例4基本相同，首先观察这列数的前几项，发现他们从第二个数开始，每个数都比它前面的数多4（即公差），仍拿它们都与第一个数相比，第2个数比第1个数多4；第3个数比第1个数多2个4；第4个数比第1个数多3个4；……要知道“1999”是这列数中的第几个数，只要算一算它比第一个数多多少个“4”就可以了。列式为：

　　（1999－99）÷4

　　=1900÷4

　　=475

　　“1999”是这列数中的第476（475＋1）个数。

　　归纳出求和项数的公式：

　　（末项－首项）÷公差＋1 = 项数

    欧几里得算题

    例1：骡子和驴驮着谷物并排走在路上，骡子在途中对驴说：“如果你把驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的2倍；如果我给你一包谷物，咱俩驮的包数相等。”请你猜一猜，它们各驮多少包谷物？

    解：从题中骡子对驴说：“……如果我给你一包谷物，咱俩驮的包数相等”，可以看出，骡子比驴多驮了2包；又由骡子说的“如果你把驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的2倍”，可以看出，在骡子比驴多驮2包的情况下，驴又给了骡子一包，这时骡子比驴多驮3包，而驴又少驮了1包，实际上是驴比骡子少驮4包了。这4包所对应的倍数是（2－1）倍。所以，一倍数是：

        （1＋1＋1＋1）÷（2－1）

         =4÷1

         =4（包）

    驴驮的谷物是： 4＋1=5（包）

    骡子驮的谷物是： 5+1+1=7（包）

    答：（略）。　　

　　例6：以“63”开始每隔10个数写出一个数来，得到：63、74、85、96、……一共写出了177个数（63是第一个数，74是第二个数，……），这177个数的和是多少？

　　分析：要计算这177个数的和，首先必须知道它的最后一个恕（即末项）是多少。列式如下：

　　①     第177个数是多少？

　　63＋（74－63）×（177－1）

　　=63＋11×176

　　=1999

　　②     利用高斯算法求和。

　　（63＋1999）×177÷2

　　=2062×177÷2

　　=182487

　　答：（略）。

    此题选自日本大阪女子学院附属中学初中招生试题

    例：大杯小杯一行行，用它来装白砂糖；

    有糖四百二十克，五大三小全装完；

    若用五小加三大，三八O克可盛光。

    大小杯子各一个，各可容纳多少糖？

    这道题的意思是：有容量分别相同的大杯和小杯若干个，装白砂糖。现在往5个大杯和

    3个小杯里装满砂糖，总共装了420克；又往3个大杯和5个小杯里装满砂糖，总共装了380克。求每个大杯和每个小杯里可分别装多少克砂糖？

    解法一：因为“往5个大杯和3个小杯里装满砂糖，总共装了420克；又往3个大杯和5个小杯里装满砂糖，总共装了380克”，这就是把开始的2个大杯后来换成了2个小杯，因此，2个大杯比2个小杯多装了砂糖：420－380=40（克）

    所以，1个大杯比一个小杯多装砂糖：40÷2=20（克）

    因为“往5个大杯和3个小杯里装满砂糖，总共装了420克”，我们把5个大杯换成5个小杯，8个小杯里装的砂糖就是：420－20×5=320（克）

    每个小杯里装的砂糖是：320÷8=40（克）

    每个大杯里装的砂糖是：40+20=60（克）

    答：（略）。

    解法二：根据“往5个大杯和3个小杯里装满砂糖，总共装了420克；又往3个大杯和5个小杯里装满砂糖，总共装了380克”可列出下列的数量关系式：

    5大杯+3小杯=420克……①

    3大杯+5小杯=380克……②

    ①×3，②×5得

    15大杯+9小杯=1260克……③

    15大杯+25小杯=1900克……④

    ④－③得

    16小杯=300克

    1小杯=40克

    把1小杯=40克带入①得

    5大杯=300克

    1大杯=60克

    答：（略）。

    兔生小兔

　　例：如果每一对兔子每月能生一对新兔，而每一对新兔在出生的第三个月里开始生一对新兔，假定在不发生死亡的情况下，一对出生的兔子在1年（12个月）能繁殖多少对？

　　分析：在一月份里是1对，在2月份里小兔尚未成熟，仍是一对兔子，在3月份里，这对兔子生了一对小兔，这时共有兔子两对；在4月份里，原来兔子又生一对小兔，但上月初生的小兔仍未长成，这样兔子共有3对；5月份里总共有5对；用同样的方法算下去，各月份兔子总数就得到了。

　　上面的顺推的办法着实有点笨，下面我们换一种思路推推看，我们容易发现：

　　从第三个月起兔子可分成两类：一类是上个月的兔子，一类是当月新生的小兔，而这些小兔对数恰好等于往前数两个月时的兔子对数，因为那个月份的兔在该月均能生小兔，这就是说，从第三个月起，每个月兔子数均为前两个月（上月和上上月）的兔子对数之和。这样一、二、三……诸月兔子依次为：1、1、2（=1＋1），3（=1＋2），5（=2＋3），8（=3＋5），13（=5＋8），21（=8＋13）……

　　如此一来，我们不仅能算的一年后的兔子数，还可算出若干年后的兔子数。　　

　　例：如果今年初生小兔3对，问半年后将有兔子多少对？

　　解：当初生小兔为3对，则个月兔子数依次为：3、3、6、9、15、24、39……故半年后，将有39对兔子。

    拼拼算算
    
    例1：一个正方形的边厂是1厘米，有36个这样的正方形，拼成一个长方形，问长方形的周长是多少？

    分析：因为36 = 1×36 = 2×18 = 3×12 = 4×9 = 6×6，所以36个正方形拼成一个长方形，可以有以下几种拼法。

    解：如图3-1所示，这些长方形的周长分别是

    （1）（1＋36）×2=74（厘米）；

    （2）（2＋18）×2=40（厘米）；

    （3）（3＋12）×2=30（厘米）；

    （4）（4＋9）×2=26（厘米）；

    （5）（6＋6）×2=24（厘米）。

     因此，36个边长为1厘米的正方形拼成长方形时，长方形的周长分别是74厘米，40厘米，30厘米，26厘米，24厘米。