9、约瑟夫问题与因式分解

　　有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？

　　这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？

　　由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64。把它们全部用2除，得1，2，3，4，……32．这是第二圈重新编的号码。第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人。如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

　　64＝2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。从64＝2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。

　　10、奇数和偶数

　　活动课上，黑熊老师笑着对大家说：“我们来做个游戏好不好？”

　　“好！”小动物们齐声回答。“请你们每位准备两张小纸条。”黑熊老师清了清嗓子说。小动物们不知道黑熊老师要他们做什么游戏，一个个兴奋的眼睛发亮，很快都把小纸条准备好了。

　　黑熊老师环视一下全班同学，说：“请你们在两张小纸条上分别写一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握一张。不要给我也不要给你身边的同学看。”

　　小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求。“听着，”黑熊老师一字一句清晰地说道：“你们各位都请将右手中的数乘2，左手中的数乘3，再把乘积相加。不要算出声音来。”

　　等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的小动物们排成一队；得数是偶数的排成一队。小动物们都站好了，一个个感兴趣地看着黑熊老师，猜测着它下以步要它们做什么。

　　“好了！”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说：“你们左手握的都是奇数。”

　　它又指着另一排小动物说：“你们左手握的都是偶数。”

　　两排小动物们摊开手掌一看，可不是，黑熊老师猜得完全正确。

　　小动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道：“老师，您是怎么知道的？”

　　黑熊老师于是分析道：“

　　奇数×2＝偶数奇数×3＝奇数

　　偶数×2＝偶数偶数×3＝偶数

　　偶数＋偶数＝偶数偶数＋奇数＝奇数

　　左手是奇数时，奇数×3是奇数，奇数＋偶数（右手中的偶数×2），结果是奇数。而如右手是奇数时，奇数×2成偶数，偶数＋偶数（左手中的偶数×3），结果是偶数。

　　这就是最后结果与左手中数字奇偶相同的原因，也即我这个猜法的根据。”

　　小动物们恍然大悟……