三、从“三”到“二”　

　　“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.

　　例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？

　　解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

　　（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.

　　现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是

　　（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.

　　铅笔和圆珠笔共

　　232－12＝220（支）.

　　其中圆珠笔

　　220÷（4+1）=44（支）.

　　铅笔

　　220-44=176（支）.

　　答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.

　　例14 商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？

　　解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是

　　（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.

　　从公式可算出，大球个数是

　　（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.

　　买中、小球钱数各是

　　（120-30×3）÷2=15（元）.

　　可买10个中球，15个小球.

　　答：买大球30个、中球10个、小球15个.

　　例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了.

　　例15是为例16作准备.

　　例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？

　　解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

　　平均速度=所行距离÷所用时间

　　去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.

　　千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）÷2=4.5千米.

　　例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？

　　解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

　　（90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.

　　单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.

　　从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是

　　45-5×3=30（千米）.

　　又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是

　　（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.

　　行走路程是3×4=12（千米）.

　　下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.

　　答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.

　　做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.

　　例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？

　　解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.

　　每次考25道题，就要多25-16=9（道）.

　　每次考20道题，就要多20-16=4（道）.

　　就有

　　9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.

　　请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.

　　答：其中考25题有2次.