2010年小升初数学专项复习-巧求最大公约数2

　　(1)小数缩倍法

　　就是求两个数的最大公约数时，如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以2、3、4……，直到除得的商是较大数的约数为止，那个商就是所求的最大约数。

　　例如，求45和75的最大公约数。

　　45÷3=15，15|75，则(45，75)=15。

　　(2)差除法

　　如果两个数的差能整除较小的数，那么这个差就是这两个数的最大公约数。

　　已知a-b=c，且c|b(a>b)。

　　求证(a，b)=c。

　　证明：由 c|b，设 b=cq。

　　于是 a=b+c=cq+c=c(q+1)。

　　在a=c(q+1)和b=cq中，

　　因为(q+1，q)=1，

　　所以(a，b)=c。

　　例如，求91和98的最大公约数。

　　∵ 98-91=7， 7|91，

　　∴(91，98)=7。

　　(3)倍差除法

　　当出现找出的差不能整除小数时，把小数再扩大几倍，使之略超过大数，用新得的数减去大数的差去除小数。

　　例4 求112与420的最大公约数。

　　112×4=448， 448-420=28，

　　28|112，

　　则(11，420)=28。

　　例5 求168与630的最大公约数。

　　168×4=672， 672-630=42，

　　42|168，

　　则(168，630)=42。

　　能够这样解的依据是什么呢?现证明如下(字母均为自然数)。

　　如果nb-a=c，c

　　那么(a，b)=c。

　　证明：设t是a，b的公约数，则t|a，t|b，

　　∴nb-a=c，且c

　　∵t|nb，t|c，

　　因此，a，b的公约数一定是b、c的公约数。

　　同理也可证明b、c的公约数一定是a、b的公约数。所以a、b的最大公约数等于b、c的最大公约数。即：

　　(a，b)=(b，c)。

　　又∵c|b，

　　∴(a，b)=(b，c)=c。

　　或用差的从大到小的因数试除。

　　例6 求161和115的最大公约数。

　　161-115=46。

　　∵46115，

　　而23|115，

　　∴(161，115)=23。

　　例7 求95和152的最大公约数。

　　∵ 95×2-152=38，

　　且3895，

　　但19|95，

　　∴(95，152)=19。

　　这种方法，也适用于求三个以上数的最大公约数。

　　例8 求217，62和93的最大公约数，

　　因为217-62-93=62，

　　且31|62、31|93，

　　所以(217，62，93)=31。

　　例9求 418、494和 589的最大公约数。

　　因为494-418=76，76418，

　　418-(76×5)=38，38|76，

　　则(418，494)=38。

　　而589-(38×15)=19，19|38，

　　所以(418，494，589)=19。

　　例10 判断255和182是否互质。

　　255-182=73，73182，

　　182-(73×2)=36，3673，

　　而73-(36×2)=1，

　　所以(255，182)=1，即为互质数。

　　4862-2618=2244，

　　2618-2244=374，374|2244，