添辅助线求面积

重庆奥数网整理 2011-09-23 14:22:30

【例题分析】

一. 阅读思考

例1. 在下图中，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于E，AF＝CE，DE＝BG，如果四边形ABCD的面积是25平方厘米，请算算三角形EFG的面积。

分析与解答：从图中可以看出，AC和BD把四边形分成了四个三角形，我们可以添上辅助线，来利用“三角形等底等高面积相等”这一关系。

连接AG和CG

因为DE＝BG，所以，

又因为，所以，到这里，我们就可以看出

也就是说，的面积和四边形ABCD的面积相等，都是25平方厘米。

例2. 图中线段AF与平行四边形ABCD的CD边交于E点，如果三角形DEF的面积为6平方厘米，请你算一算三角形BCE的面积。

分析与解答：从原图上看，三角形DEF和三角形BCE之间没有任何联系。如果能借助第三个图形，使它们联系起来就可以使问题得到解决。这时，我们就要添“辅助线”来帮助解决问题。但是，辅助线不能乱添，如果添上后不能使两个三角形产生联系，就没有意义了。

从图中可以看出ABCD是平行四边形，所以AB与CD平行，AD和BC平行。如果我们连接A和C，就可以看出：和的面积相等，和面积相等。（都是等底等高）

所以

所以的面积也是6平方厘米

例3. 在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行AC。如果三角形AED的面积为10平方厘米，求三角形CDF的面积。

分析与解答：既然是求三角形的面积，我们就应该利用“三角形”等底等高面积相等这一知识。

通过连接AF和CE，可以看出，

又因为

所以

所以三角形CDF和三角形AED的面积相等，都是10平方厘米。

同学们，你们能想出一个更简便的思路吗？

例4. 在三角形ADE中，BD＝3AB，CE＝5AC，求三角形ADE是三角形ABC的多少倍？

分析与解答：要解答这道题，我们可以添上一条辅助线，也就是连接BE。

添上辅助线后，可以看出：

和的高相等，因为“两个三角形高相等，它们面积的比就是它们底边长度的比”，CE＝5AC，所以

所以

同理，可知因为，所以，

所以是的6×4＝24倍

二. 尝试体验

1. 在图中，AD＝AB，BE＝2BC，CF＝3AC。如果三角形ABC的面积是4个面积单位，那么三角形DEF的面积是多少？

2. 矩形ABCD的面积是72平方分米，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，求阴影部分的面积是多少？

3. 如图，四边形ABCD的面积是2平方米，AB＝AE，BC＝BF，DC＝CG，AD＝DH，求四边形EFGH的面积。

4. 在图中，ABCD是边长18厘米的正方形，E和F分别是BC和CD的中点，DE和BF交于O。求四边形ABOD的面积。

参考答案：

1. 在图中，AD＝AB，BE＝2BC，CF＝3AC。如果三角形ABC的面积是4个面积单位，那么三角形DEF的面积是多少？

答：72个面积单位

2. 矩形ABCD的面积是72平方分米，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，求阴影部分的面积是多少？

答：36平方分米

3. 如图，四边形ABCD的面积是2平方米，AB＝AE，BC＝BF，DC＝CG，AD＝DH，求四边形EFGH的面积。

答：10平方米

4. 在图中，ABCD是边长18厘米的正方形，E和F分别是BC和CD的中点，DE和BF交于O。求四边形ABOD的面积。

答：216平方厘米

【模拟试题】（答题时间：25分钟）

1、E是长方形ABCD中AB边的中点，CE和BD交于F。如果三角形EBF的面积是1平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

2、如图所示，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

3、（2004·第2届“希望杯”）

将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如图所示，则阴影部分的面积是__________平方厘米。

4、如下图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB，延长BC至E，使CE＝2BC，延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。

【试题答案】

1、［思路剖析］

先画出图形，如下图所示。

现在的图形里没有等底或等高的现象，需要连接一些线段，出现等底或等高的图形，当然，最好是三角形。

很容易想到连AF，出现了等底等高的两个三角形△AEF、△BEF，面积都是1平方厘米。但这两个三角形现在都很难与所求的长方形面积有什么明显的关系。

连AC，交BD于O点，注意O点是AC、BD的中点。现在又有了两个等底等高三角形△AOF、△COF，只是这两个三角形的面积现在不知道。

其实，△COF与△BEF面积相等，可以从两个角度得到：

第一，△AOB、△ACE面积都是△ABC的一半，即△AOB面积＝△ACE面积，考虑它们各自减去二者的公共部分：四边形AOFE，剩下的部分面积仍然应该相等，即各自剩下的是△COF与△BEF，面积相等，是1平方厘米。

第二，观察△COB与△BEC，如果把BC作为两个三角形的底边，它们就是等底三角形，再考虑相对这条底边的高，都等于长方形边AB的一半，即高相等，△COB与△BEC是等底等高三角形，面积相等，减去共同部分△BFC，剩下的部分面积仍然应该相等，即各自剩下的是△COF与△BEF，面积相等，是1平方厘米。

这样，△AOF、△AEF、△BEF面积相等，都是1平方厘米，△AOB的面积就是1＋1＋1＝3（平方厘米），很容易发现，所求长方形面积是△AOB的面积的4倍，因此所求长方形面积为3×4＝12（平方厘米）。

［解答］

连结AF，两个三角形△AEF、△BEF等底等高，面积都是1平方厘米。

连结AC，交BD于O点，O点是AC、BD的中点。△AOF、△COF是等底等高三角形，面积相等。

因为△AOB、△ACE面积都是△ABC的一半（△AOB面积＝△ACE面积），各自减去四边形AOFE，剩下的部分是△COF与△BEF，面积相等，是1平方厘米。

△AOF、△AEF、△BEF面积相等，都是1平方厘米，△AOB的面积就是1＋1＋1＝3（平方厘米），所求长方形面积是△AOB面积的4倍，因此所求长方形面积为3×4＝12（平方厘米）。

答：长方形ABCD的面积是12平方厘米。

2、［思路剖析］

直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。

［解答］

解法一：连结B、E（见图1）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为

图1 图2

4×（10－7）÷2－2×（10－7）÷2＝3

解法二：连结C、F（见图2）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为

4×（10－7）÷2－2×（10－7）÷2＝3

解法三：延长BC交GF于H（见图1）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为

（4＋2）×（10－7）÷2－2×（10－7）＝3

解法四：延长AB、FE交于H（见图2）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为

4×（10－7）－（10－7）×（4＋2）÷2＝3

答：三角形BCO与三角形EFO的面积之差为3。

3、［思路剖析］

分别求各阴影部分面积，再将两部分面积相加。

［解答］

如图所示，过所有三角形的公共顶点分别向长方形的四条边作垂线，它们的长分别为厘米，厘米，厘米，厘米，则左下方阴影部分的面积是

平方厘米；

右上方阴影部分的面积是

平方厘米。

所以阴影部分的总面积是

（平方厘米）。

4、［思路剖析］

本题无法直接求出三角形DEF的面积，应找到其与三角形ABC面积之间的关系，根据BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3AC发现，可以分别以BD、CE、AF为底，作与三角形ABC同高的三角形，通过观察容易想到连结CD、AE，如下图所示，这样可通过各个三角形与小三角形ABC面积之间的关系，求得大三角形DEF的面积。