备战2013小升初：数学知识点之数论综合(2)

奥数网 2012-10-19 10:33:32

　　小圆周长为 ×30=307r，大圆周长为48 ，一半便是24 ，30与24的最小公倍数时120.

　　120÷30=4.120÷24=5.

　　所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A的直径另一点B.这时两只甲虫相距最远。

　　9.设a与b是两个不相等的非零自然数。

　　（1）如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值？

　　（2）如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值？

　　【分析与解】（1）a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.不妨设a＞b.

　　第一种情况:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；

　　第二种情况:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；

　　第三种情况：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；

　　第四种情况：当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；

　　第五种情况：当a=12时，b无解；

　　第六种情况:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值。

　　总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值。

　　（2）60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.a、b为60的约数，不妨设a＞b.

　　第一种情况：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；

　　第二种情况：当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；

　　第三种情况：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；

　　第四种情况当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；

　　第五种情况: 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2.

　　总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值。

　　11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）

　　【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次。

　　1～198之间只有1，2，3，…，17，198（余O）这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数。

　　12.甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。求A等于多少？

　　【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数。

　　即603÷A=a……k；（2×939）÷A=b……k；（4×393）÷A=c……k.

　　于是有（1878－603）÷A=b－a；（1878－1572）÷A=b－c；（1572－603）÷A=c－a.

　　所以A为1275，306，969的约数，（1275，306，969）=17×3=51.

　　于是，A可能是51，17（不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍）。

　　当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36.不满足；

　　当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足。

　　所以，除数4为17.

　　13.证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

　　【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除。

　　现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数。

　　评注：设奇数为2n+1，则它的平方为 +4n+1，显然除以4余1.

　　14.有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块。甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍。问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？

　　【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍。

　　八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.

　　从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6.

　　观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31.

　　因此甲取走的一盒中有3l块奶糖。

　　15.在一根长木棍上，有三种刻度线。第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？

　　【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的1/60作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位。

　　不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14（相应于10，12，15等份），共计34个。

　　由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1.

　　又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2.

　　同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4.

　　由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段。