例2.    在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

　　分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个"抽屉"。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个"抽屉"里。

　　将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。

　　例3.    在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？

　　分析与解：根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。

　　第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。

　　第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3整除。

　　综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

　　二、巩固训练

　　1.    有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

　　分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。

　　对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：

　　（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

　　其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。

　　将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。

　　2.    用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

　　分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

　　将上面的四种情形看成四个"抽屉"。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

　　在上面的几个例子中，例1用一年的366天作为366个抽屉；例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0，1，2作为3个抽屉；例4将一条线段的10等份作为10个抽屉；例5把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉；例6将每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。

　　3.    在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？

　　分析与解：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）。

　　将每段线段看成是一个"抽屉"，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。

　　所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。

　　三、拓展提升

　　1.    有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

　　分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

　　2.    一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

　　3.

　　分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

　　4.    从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

　　分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

　　凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。

　　现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。

　　（十二） 倒推法的妙用

　　师说："这里有10张纸牌，依次写着1-10，我闭上眼睛，你任意抽一张出来。""好，已抽好了。"乙回答道。"嗯，把你的那张纸牌上的数乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告诉我得数是几。（可任意找学生抽卡片）

　　乙又说："得数是23。"

　　那她抽的那一张是几呢？

　　这个数是9，我们怎么知道？同学们，你们都知道其中的奥秘吗？

　　让这节课来告诉大家吧，

　　利用倒推法，倒推法是根据加法与减法、乘法与除法互相逆运算的关系，从最后的得数出发。因为23是加上2后得到的，就要减去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要减去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一张一定是9。一些游戏，只要你知道其中的奥秘后，你就不会大惊小怪了。

　　一、例题与方法指导

　　例1. 喜迎奥运，猜年龄:刘翔的年龄除以4再减去2,乘25正好是100.你知道刘翔今几岁吗 ？

　　思路导航：

　　① 100÷25+2×4 ② 100÷(25+2×4) ③ (100÷25+2)×4到底是哪个呢？

　　倒推法的方法：从结果出发，从后向前运算，并且每个运算变成它的逆运算。正确答案③

　　例2. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？

　　思路导航：

　　依题意，画图进行分析.

　　解：列综合算式：

　　｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2

　　＝22（个）

　　答：篮子里原有梨22个.

　　例3. 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？

　　思路导航：

　　解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.

　　解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）