例1 数一数，图3－1中共有多少点？



　　解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：



　　第一层 1个

　　第二层 2个

　　第三层 3个

　　第四层 4个

　　第五层 5个

　　第六层 6个

　　第七层 7个

　　第八层 8个

　　第九层 9个

　　第十层 10个

　　第十一层 9个

　　第十二层 8个

　　第十三层 7个

　　第十四层 6个

　　第十五层 5个

　　第十六层 4个

　　第十七层 3个

　　第十八层 2个

　　第十九层 1个

　　总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）

　　=55+45=100（利用已学过的知识计算）.

　　（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数



　　第一层 1个

　　第二层 3个

　　第三层 5个

　　第四层 7个

　　第五层 9个

　　第六层 11个

　　第七层 13个

　　第八层 15个

　　第九层 17个

　　第十层 19个

　　总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.

　　（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.



　　想一想：

　　①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.

　　②由方法1和方法3得出下式：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：

　　1=1×1

　　1+2+1=2×2

　　1+2+3+2+1=3×3

　　1+2+3+4+3+2+1=4×4

　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5

　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6

　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7

　　1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.

　　同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.

　　③由方法2和方法3也可以得出下式：

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.

　　即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：

　　1+3=2×2

　　1+3+5=3×3

　　1+3+5+7=4×4

　　1+3+5+7+9=5×5

　　1+3+5+7+9+11=6×6

　　1+3+5+7+9+11+13=7×7

　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10

　　还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.