19．余数、同余与周期

    一、同余的定义：

    ①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

    ②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

    二、同余的性质：

    ①自身性：a≡a(mod m)；

    ②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

    ③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

    ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

    ⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；

    ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；

    ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；

    三、关于乘方的预备知识：

    ①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b                   ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

    四、被3、9、11除后的余数特征：

    ①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

    ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

    五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

    20．分数与百分数的应用（必考知识点，小升初应用题命题中的五大命题专题之一）

    基本概念与性质：

    分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

    分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

    分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

    百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

    常用方法：

    ①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

    ②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

    ③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

    ④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

    ⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

    ⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

    ⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

    ⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

    21．分数大小的比较（必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点）

    基本方法：

    ①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

    ②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

    ③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

    ④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

    ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

    ⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

    ⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

    ⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

    ⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

    ⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

    推荐阅读：

    小学数学常见题型及解题思路（一）

    小学数学常见题型及解题思路（二）

    小学数学常见题型及解题思路（三）