合肥奥数网讯：信息学竞赛常用算法与策略：分治策略。

　　任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

　　分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

　　8.1 分治策略的定义

　　分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

　　    如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

　　分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

　　该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

　　该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

　　利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

　　该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

　　上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。　　　

　　8. 2 分治法解题的步骤

　　分治法的基本步骤

　　分治法在每一层递归上都有三个步骤：

　　分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

　　解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

　　合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

　　它的一般的算法设计模式如下：

　　Divide-and-Conquer(P)

　　1.  if |P|≤n0 

　　2.    then return(ADHOC(P))

　　3.  将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

　　4.  for i←1 to k

　　5.    do yi ← Divide-and-Conquer(Pi)    △ 递归解决Pi

　　6.  T ← MERGE(y1,y2,...,yk)             △ 合并子问题

　　7.  return(T)

　　其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADH

　　OC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时，直接用算法ADHOC(P)求解。

　　算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P

　　的解。

　　根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？这些问题很难予以肯定的回

　　答。但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取k=2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。