三、拓展提升

　　1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8 9=72,在9后面写2,9 2=18,在2后面写8,……得到一串数字:

　　1  9  8  9  2  8  6……

　　这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

　　2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？

　　3. 设n=2 2 2 …… 2，那么n的末两位数字是多少？

　　1991个

　　4．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

　　答案：11.  依照题述规则多写几个数字:

　　1989286884286884……

　　可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4) 6=330…5，所以所求数字是8.

　　12.  1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990 10=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.

　　13.  n是1991个2的连乘积,可记为n=21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:

　　n    n的十位数字    n的个位数字    n    n的十位数字    n的个位数字

　　21    0    2    212    9    6

　　22    0    4    213    9    2

　　23    0    8    214    8    4

　　24    1    6    215    6    8

　　25    3    2    216    3    6

　　26    6    4    217    7    2

　　27    2    8    218    4    4

　　28    5    6    219    8    8

　　29    1    2    220    7    6

　　210    2    4    221    5    2

　　211    4    8    222    0    4

　　观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为20.因为1990 20=99…10，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.

　　14.  因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.

　　6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.

　　由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:

　　2 [(100-10) 30]+1

　　=2 3+1

　　=7(段)

　　[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.

　　（十三） 棋盘中的数学

　　所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2））， 还

　　有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问

　　题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解

　　决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．

　　今天，我们就简单介绍关于棋盘中的覆盖问题。

　　用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

　　棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法问题。

　　一、例题与方法指导

　　例1.    要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个下图所示的图形？

　　思路导航：

　　因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数。经试验，不可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6（见下图），需要用题目所示的图形

　　36÷3= 12（个）。

　　思路导航：

　　在五年级学习"奇偶性"时已经讲过类似问题。左上图共有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。

　　例3.    下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？

　　思路导航：

　　先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）。

　　能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个。在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个。第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。

　　综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形。

　　例4.    用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？

　　思路导航：

　　用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左下图）。用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）。

　　上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？

　　将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。

　　综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形。

　　二、巩固训练

　　1.    用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？

　　分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。

　　如下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有4种覆盖方法：右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法。所以，共有7种不同覆盖方法。

　　2.    有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）

　　解：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：

　　有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：

　　有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1 厘米纸片的有1种拼法。

　　共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）。