小升初杯赛题：求余数的做法（公式技巧）
武汉奥数网10月31日：小学奥数杯赛题中，求余数是常见的类型，如何简单快速的求余数，我们这里有个公式，供广大学生套用。（
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点击查看原文：智解余数题
个人建议：在您看这份文档的同时，准备一支笔，一张草稿纸。如果看到例题，跟我的步骤，一步一步地同时写下来，这样比光看屏幕，要理解得更快！
我在自己的讨论稿文档里，求余的时候，都会用到mod这个运算符。
mod：模。意思就是求余数。
比如说：5 mod 3=2， 100 mod 11=1
读作：五模三余二，一百模十一余一
这是标准的公式化写法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其实也很简单。引入Mod，主要是可以用数学公式来写，而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题，也比较容易表达。
在讲如何求余之前，先来普及一下余数的一些性质。
首先就是余数的加减法：比如说100除以7余2，36除以7余1。那么100+36除以7余几呢？或者100-36除以7余几呢？很显然，只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。通过这个例子可以很明显的看出来，余数之间是可以加减的。
总结写成书面的公式的话，就是：(M＋N) mod q=(（M mod q）+（N mod q）) mod q
然后我们再看余数的乘法：我们继续来看上面这个例子，如果要求100*36除以7的余数是多少，该怎么求呢？
我们不妨来这样做：
100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1；
这时100*36=（7*14+2）（7*5+1）=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
很明显，100*36除以7的余数就等于2*1=2
于是我们可以得出这样的一个结论：求M*N除以q的余数，就等于M除以q的余数 乘以 N除以q的余数。
类似的，如果是求N^m 除以q的余数呢？只要我们将N^m=N*N*N*...*N，也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘，一共m个，得出的结果再对q求余数，即可求出结果。
举例来说：求11^4除以9的余数。化成公式即是：11^4 mod 9=?
11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7
于是我们可以总结出这样的公式：
M*N mod q=（M mod q）*（N mod q） mod q
（ M^n mod q = （M mod q）^n mod q ）
那么，我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢？
As we all know，如果一个数乘以1，还是等于原数；而1的任意次方，还是等于1。
所以在解答这一类的问题的时候，只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式，结果显然会好算很多的。（或者-1，2之类的比较容易进行计算的数字都可以，因题而异。）
家长点评：
@小叮当：技术贴，表示看晕了
@同舟共进：楼主定是数学达人一枚，这么牛的算法都能想出来
@风七七：我拿着纸和笔按照楼主的方法算了一次，果然很智能
@亮点：这个对孩子来说还有点困难吧
@卉风：这专业的技巧我是没学会的，还是让孩子去学
@乌鲁鲁：这就是试验总结规律啊，强悍啊，孩子钥匙学习这样琢磨，肯定更有兴趣学啊
@xdm619：同余问题是大学数学本科学习的内容，将高等知识小学化，对于培养孩子的数学兴趣是有些好处，只是如果对于数学学习余力不足时，这种知识会适得其反。
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