第十五届华罗庚金杯少年队数学邀请赛决赛试题A（小学组）

　　一、填空题（每小题10分，共80分）

　　1.在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要173个乒乓球。

　　解：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173

　　2.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有19种不同价格。

　　解：5x5-6=19（9、12、15、11、14、17重复）

　　3.汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是425km。

　　解：AC相遇时，BC间距离为（90+80）x13=1703

　　此时B共行进了1703÷（80-60）=176小时，则AB相遇时A、B行进了176—13=52小时，所以总路程为（90+80）x52=425km

　　4.将12、13、14、15、16、17和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第5位。

　　解：平均值为223840，比较可得。

　　5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为223，这些“好数”的最大公约数是3。

　　解：“好数”实际上是对于模9同余6的数,因此在1~2012中共有（2012-5）÷9=223个

　　所有好数都是3的倍数，参照前2个好数6、15可得，最大公约数只能为3.

　　6.右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为32。

　　解：从3个方向数出各自的面积为5+6+5=16

　　则6个面一共为16x2=32

　　7.数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和事33，则最多有3张是卡片“3”。

　　解：设8张全用3则3x8=24，不足33.33-24=9

　　因此要用“4”或“5”来替换“3”显然尽可能多用“5”更划算

　　所以每用一张5可使结果增加2

　　所以9÷2=4??1

　　所以用4张5和1张4替换掉5个3，还剩下3个3是最多的情况。

　　8.若将算式11x2—13x4+15x6—17x8+?—12007x2008+12009x2010的值化为小数，则小数点后第1个数字是4。

　　解：原式的小数部分第一位是4。

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　　二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

　　9.右图中有5个由4个1x1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4x5的长方形吗？如果能请画出一种拼法；如果不能请简述理由。

　　不可以。

　　解：对长方形黑白间隔染色，共有10黑10白。那5个小正格硬纸板，“L”型会占2黑2白，“Z”型会占2黑2白，“田”型会占2黑2白，“1”型会占2黑2白，“土”型会占1黑3白或3黑1白，这样总共会占掉9黑11白或11黑9白，与10黑10白矛盾。所以不行。

　　10.长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段长是多少？

　　解：按红、蓝、黑线划分后的长度分别为原厂的18、112、118则格局容斥原理可得：

　　[18,112]=14；[18,118]=12；[18,112,118]=12

　　则可知共可分38-6-4-2=26段，

　　最短一段：

　　因为（18，112，118）=172它们的最大公约数为172

　　所以最短的一段一定大于172，不难组合出18第一段与118的第二段之间可截出

　　18—218=18—19=172x2

　　所以最短为L72

　　另：可设L长度为72，把分数转化为整数更简便

　　11.足球队A，B，C，D进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分，若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？

　　至多7分，至少得5分。

　　解：总共塞了10场，10场中有些是平局，有些是胜负局，而平局时双方只能得到2分，胜负双方能得3分。所以要想使E得分最多或最少，也就是要让总分最多或最少。

　　总分最多时，平局最少。A最少平1局，B最少平1局，C最少平1局，D最少平2局，由于一场平局被两支队伍算了两次，所以平局数的和必须是偶数，因此E最少平1局，所以E队最多得7分。

　　总分最少时，平局最多。A最多平1局，B最多平4局，C最多平1局，D最多平2局，同理平局数的和必须是偶数，因此E最多平4局，但是这样的情况是不可能达到的，因为B和E与其他四队都平的话，A、C不可能只平1局。因此E最多平2局，所以E队最多得5分。

　　12.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112=1163x16424.请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。

　　有。

　　解：显然16424不是质数。对于1163，依次用2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除，发现都不能整除，所以1163是质数。

　　三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

　　13.右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米，已知△ABC△BCD△CDE△DEF△EFA△FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米。求六边形A1B1C1D1E1F1的面积。

　　670

　　14.已知两位自然数虎威能被他的数字之积整除，求出虎威代表的两位数。

　　36、24、15、12

　　解：由题目知，两位数虎威要满足：威虎威，即??10?威虎威，也就是要10威虎；同理，由于虎虎威，即??10?虎虎威，也就是要虎威。有了这两个限制条件，依次进行试验：

　　当威=9，7，3，1时，相应的虎=9，7，3，1；但不同的汉字取相同的数字，矛盾。

　　当威=8时，虎=8或4，都不满足。

　　当威=6时，虎=6或3，试验知36是满足的。

　　当威=4时，虎=4或2，试验知24是满足的。。

　　当威=2时，虎=2或1，试验知12是满足的。

　　当威=5时，虎=5或1，试验知15是满足的。

　　综上所述，有三个满足题目的两位数，即36、12、15