“希望杯”数学邀请赛培训题(三)及答案解析
51．将一个长为
，宽为
的矩形分为六个相同的小矩形，然后在矩形中画出形如字母M的图形，记字母M的图形面积为S，则S＝＿＿。
52．有理数－3，＋8，－，0.1，0，
，－10.5，－0.4中，所有正数的和填在下式的?中，所有负数的和填在正式下式的□中，并计算出下式的结果填在等号左边的横线上。 ?÷□＝＿＿。
53．填数计算：?中填入最小的自然数，△中填入最小的非负数，□中填入不小于－5且小于3的整数的个数，将下式的计算结果写在等号右边的横线上。（?＋□）×△＝＿＿。
54．从集合中取出三个不同的数，可能得到的最大乘积填在□中，可－能得到的最小乘积填在?中并将下式计算的结果写在等号右边的横线上。－（－□）÷?＝＿＿。
55．计算：
56．有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其身高（以厘米为单位）减去110。正常体重在标准体重减标准体重的10％和加标准体重的10之间。已知甲同学身高161厘米，体重为W，如果他的体重正常，则W的公斤数的取值范围是_____.
57．若A是有理数，则的最小值是＿＿＿.
58．计算：.
59．有理数
在数轴上的位置如图所示，化简
60．X是有理数，则的最小值是_____.
61．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，则线段AC的长度为_____.
62．设和
为非负整数，已知
和
的最小公倍数为36，
63．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____.米（精确到个位）
64．现有一个代数式时该数式的值为
时该代数式的值为
则
65．如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另
一个小正方形并排放在一下起，则的
面积是＿＿平方厘米。
66．在六位数2552中
皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数
。
67．今有1分，2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积是＿＿＿。
68．数学小组中男孩子数大于小组总人数的40％小于50％，则这个数学小组的成员至少有＿＿＿人。
69．用三个数码1和三个数码2可以组成＿＿个不同的四位数。
70．在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有＿＿个。
71．在100∽1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有＿＿个。
72，有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生。”问毕达哥拉斯的学校中有多少学生？
答：毕达哥拉斯的学校中有＿＿个学生。
73．丢番图（二世纪时希腊数学家）的基碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，先父四年亡，丢番图到底寿多长？”
答：丢番图的寿命是＿＿岁。
74．有人问某儿童，有几个兄弟、有几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹。”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍。”问他们兄弟、姐妹各几人？
答：他们有兄弟＿＿人，姐妹＿＿人。
75．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的罗数等于我今年岁数的一半，当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁。”两人现年各多少岁？答：甲现年＿＿岁，乙现年＿＿。
答案与提示
51．形的面积等于矩形面积
减去三个小三角形面积，而三个小三角形面积恰好是短形面积的
，所以
52．○中填的数是：
□中填的数是：
而
53．○中填1，△中填0，□填8。（1＋8）×0＝0．
54．由－3，－2，－1，4，5中任取三个相乘可得10种不同的乘积，它们是
（－3）（－2）（－1）＝－6，（－3）（－2）4＝24，（－3）（－2）5＝20，
（－3）（－1）4＝12，（－3）（－1）?5＝15，（－3）（4）（5）＝－60，
（－2）（－1）?4＝8，（－2）（－1）?5＝10，（－2）?4?5＝－40，（－1）?4?5＝－20．
最大乘积是30，最小的乘积是－60．－（－30）÷－60＝－
55． 1－
＝＝
＝
56．按规则，甲同学的标准体重为161－110＝51，正常体重应在与
之间，即
所以
57．若则
若<0，则
>0．所以
的最小值是0．
58．
=
=
59．由图可见，
又 ；
由图可知 所以：
60．分三种情况讨论：
（1） 当时，
（2） 当时，
(3)当时，
综合（1），（2），（3），可得，最小值是
61．设线段的长度为
，则
所以 即
即 长度为
63．设乙跑了X米，则在
64．因为
所以
65．设大正方形长为
，小正方形边长为
，则S△ABC
平方厘米．
66．设则
其中
为8或9，因为250052，10
，
被11除的余数分别为0，－1，1，可设250052＝
为正整数，故可得
所以所求四位数是1885或1995．
67．设1分、2分、5分硬币分别为枚，则
得
当时，
，
；当
，3，4时均不合题意；当
5时，
，
；当
6，7，8
均不合题意．
所以，原方程的解为 或
，或
．
68．设这个数学小组的成员共有人，男孩子为
人，则
均为自然数，且
．
即： 且
． 于是：
且
则：
所以 所以
最小值是7． 这时
所以 因此，这个数学小组成员至少有7个人。
69．四位数每个数位都可以选1或2，共两种方法，所以排成四位数共有种方法。但由于只有三个1和三个3，因此不可能出现1111和2222这两个数，所以用三个数码2可以组成
个不同的四位数，它们是：1222，2122，2212，2221，1122，1212，1221，2112，2121，2211，1112，1211，2111，1121．
70．按百位数字分类讨论：
① 百位数字是8，9时不存在，个数0；
② 百位数字是7，只有789，1个；
③ 百位数字是6，只有679，678，689，共3个；
④ 百位数字是5，有567，568，569，578，579，589，共6个；
⑤ 百位数字是4，有456，457，458，459，467，468，469，478，479，489共10个；
⑥ 百位数字是3时，共15个；
⑦ 百位数字是2时，共21个；
⑧ 百位数字是是1时，共28个。
总计，共1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝80个。
71．后两位数字相同，只有00，11，22，33，44，55，66，77，88，99这10种可能情形，而每一种相同的末两位数字相同的数，百位到千位对应着1，2，…，19这19种可能，所以在100－1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有19×10＝190个。
72．设毕达哥拉斯学校有学生人，则正在学数学的为
人，正在学音乐的为
人，正休息的为
人．依题意列出如列方程：
解得：
人。
73．设丢番图寿命为岁，则他的童年时期为
岁，他的少年时期为
岁，又过了生命的七分之一，即
，儿子年岁为
，丢番图寿命等于各阶段年数之和，得
解得： ．丢番图一生活了84岁。
74．设他们有兄弟人，姐妹
人，则依题意可列出如下的二元一次方程组
， 解得
即他们有兄弟4人，姐妹3人。
75．设甲现年岁，乙现年
岁，甲比乙大
岁。由甲说的前半句话：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年岁数的一半”可得
①
由甲说的后半句话：“当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7”可得 ②
将①，②联立，解得 所以甲现年28岁，乙现年21岁。
