华杯赛备考：每周一练第十六期试题及答案

石家庄奥数网整理 2013-02-26 16:19:13

　　甲乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去。问李明到达乙地的过程中，张平共追上李明多少次？

　　答案 4次。

　　分析直观上看这道题，我们希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的时间，因为只有这样我们才能确定整个过程的进展，进而得到最终答案。

　　但另一方面，知道这些并不够。我们应先分析什么是“追上”，如图所示，当两人经过80分钟相遇时，两人所走的路程和恰是甲乙两地之间的距离，因此两人才能相遇。如图所示，第一次追上就是张平比李明多走了一个甲、乙两地的距离，而这用了80＋20＝100分钟。依次类推，第二次相遇的情况，从图上可以看出来，是张平比李明多走了3个甲乙之间的距离；第三次相遇，是张平比李明多走了5个甲乙之间的距离

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　　如果知道了张平的速度是李明的几倍，也就可以知道在李明走完1个甲乙之间距离的时候，张平走了几个甲乙之间的距离，他比李明多走了几个。这样也就求出当李明到达乙地时，张平追上了他几次。

　　详解在图上，C时二人相遇地点，D是张平第一次追上李明的地点，我们来分析如何求出两人速度的倍数关系。

　　在从相遇到第一次追上这20分钟内，张平从C走到A再走到D，即CA＋AD。而CA也就是AC，是李明相遇前的路程，即李明80分钟走的；AD是李明第一次被追上时已走的路程，即他80＋20＝100分钟走的。因此，张平20分钟走的路程AC＋AD，是李明80＋100＝180分钟走的，也就是说，张平的速度是李明的9倍。

　　当李明从甲走到乙时，张平走了9个这样的距离，即比李明多走了8个从甲到乙的距离。比李明多走1个AB时，张平第一次追上李明；多走3个时，第二次追上；多走5个时，第三次追上；多走7个时，第四次追上。

　　综上所述，在李明从甲到乙的过程中，一共被张平追上4次。