中环杯/小机灵杯难题：质数合数

家长帮资讯 2014-12-08 15:09:46

　　导语：中环杯/小机灵杯各年级难题——质数合数（五年级），下面是详细例题分析。

　　阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！

　　1．质数与合数

　　一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

　　常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、 73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。

　　考点：①值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点；②除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。

　　2．质因数与分解质因数

　　质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

　　互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数。

　　分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

　　例如：其中2、3、5叫做30的质因数。又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

　　3．唯一分解定理

　　任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的。该式称为n的质因子分解式。

　　例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。

　　分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7。

　　4.部分特殊数的分解

　　5.判断一个数是否为质数的方法

　　根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数。

　　例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。

　　例1：甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：“两个质数之和一定是质数”。乙说：“两个质数之和一定不是质数”。丙说：“两个质数之和不一定是质数”。他们当中，谁说得对？

　　解析：因为两个质数之和可能是质数如2+3=5，也可能是合数如3+5=8，因此甲和乙的说法是错误的，只有丙说得对。

　　例2.下面有3张卡片3、2、1，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数。把所得数中的质数写出来。

　　解析：从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个。但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数，都不是质数。所以，两位数的质数只有13，23，31。

　　因为1+2+3=6，6能被3整除，所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数。故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个。

　　[注]这里采用边列举、边排除的策略求解。在抽二张卡片时，也可将得到六个两位数全部列举出来：12，13，21，23，31，32。再将三个合数12，21，32排除即可。

　　例3.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？

　　解析：100以内所有奇数之和是1+3+5+？+99=2500，从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和 7×(1+3+？+13)+11×(1+3+？+9)=618，最后再加上一个7×11=77（因为上面减去了两次77），所以最终答数为 2500-618+77=1959。

　　[注]上面解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数，再加上一个公倍数7×11，这里限定在100以内，如果不是100以内，而是 1000以内或更大的数时，减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有7×11的1倍，3倍……也更多些，这实质上是包含与排除的思路。