学而思　朱鸣老师

　　接触了很多孩子，有很大一部分在学习中都不爱写过程，不知道如何把自己的想法表达出来，究其原因，一些是对知识点掌握不透彻，一些是语言组织上的问题，还有一些是思维上的不严谨。如何才能养成严谨的思维习惯呢？那就是在平时的时候多问自己为什么，对于自己的接触的定理，得到的结论，试着去想一下这是怎么得到的，怎样才能证明这些。

　　构造与论证之奇偶分析

　　一、奇偶数运算规律

　　1、加减法中：看奇数个数

　　奇数的个数是奇数个，结果为奇；反之为偶

　　2、乘法中：有偶则偶

　　乘数中只要有一个偶数，则结果为偶；

　　若要乘积结果是奇数，则乘数必须都是奇数。

　　3、有限个数，无论怎样填加减号，结果的奇偶性不变。

　　如：你能每两个数之间填“+”或“-”，使等式成立吗？

　　5 4 3 2 1=2

　　答案：不能。左边有3 个奇数，无论怎么填加减号，结果都是奇数，不可能得2。

　　二、构造与论证

　　1、判断不能（80%的论证题都是不能）

　　思路一：直接论证不能

　　思路二：当直接论证不好说清楚时，不妨尝试反证法。

　　第一步：假设反面结论成立

　　第二步：根据假设得到一个结论

　　第三步：根据题目条件得到一个相反的结论

　　第四步：由两个结论矛盾，得到假设不成立，即证明了正面结论。

　　2、判断能

　　注意：证明出可能性后，一定要构造出一个例子才完整。

　　例：在a、b、c 三个数中，有一个是2003，一个是2005，问（a-1）（b-2）（c-3）是奇数还是偶数？

　　方法一：∵ a,b,c 中有两个奇数

　　∴ a,c 中至少有一个是奇数

　　∴ a-1，c-3 中至少有一个是偶数

　　又∵ 偶数×整数=偶数，

　　∴ （a-1）（b-2）（c-3）是偶数。

　　方法二：反证法

　　假设（a-1）（b-2）（c-3）是奇数

　　则（a-1），（b-2），（c-3）都是奇数

　　∴ a 是偶数，b 是奇数，c 是偶数

　　与条件“一个是2003，一个是2005，共两个奇数”矛盾

　　∴ 假设不成立。

　　∴ （a-1）（b-2）（c-3）是偶数。

　　例：桌子上有5 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？

　　对于一只杯子而言，翻动奇数次就改变状态，翻动偶数次就还原。所以要使5只杯子的开口全都向下，则每只杯子都要翻动奇数次。

　　翻动的总只数：奇数+奇数+奇数+奇数+奇数=奇数

　　实际翻动总只数：4×次数=偶数 ∴ 不能实现

　　对于翻杯子、翻硬币、开关灯等“奇数次改变状态，偶数次还原”的操作论证题，同学们都可以用奇偶性分析的方法解决。

　　思考：在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯，如果每次拨动4个不同房间的开关，能否把全部房间的灯都关上？为什么？（答案：不能）

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