备战华杯赛，试题每日一练(16)

华杯赛官网 2013-02-01 09:40:08

　　杭州奥数网2月1日 进入2013年，第十八届“华杯赛”的考试也将近，备战华杯赛刻不容缓，即日起，每天整理1-3道华杯赛试题，给备考的学生们练手准备，继续每日一练(16)。更多信息请点击>>

　　试题一：

　　一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1以外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。

　　答案：这样一组数的和的最大值是325；最小值存在，是61。

　　分析与解：（1）考虑数组中各数和最大的情形

　　显然，最大的数组是1到25的全部都取，它的确满足要求。所以，这组数之和最大值是

　　（2）考虑数组中各数和最小的情形

　　这数组中肯定有1，也必有2，不然就没有别的数了。根据“这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和”，把它们按从小到大的顺序排列起来，排到第四个数，可能出现的情况只有以下6种：

　　最后一个数25是偶数，它只能是比它小的另外两个不同数之和。在这6种可能性中，虚线表示的没有写出来的数里面，至少要有两个数，它们的和不小于25，不然的话，最后的25就表不成组中某两个数之和。为使数组中各数之和尽量小，应当在“…”填尽量少的数，并使填入的数之和尽量小。

　　在1，2，3，4，…，25中，“…”处可以只填10，15两个数，就使两个数之和25，并且满足对数组的各项要求。因为，在以后的其他情形里，即便能够只填入两个数，它的各数之和也都变大了；而填入三个数的话，后两个数之和为25，整个和就更大了。所以，数组1，2，3，5，10，15，25的和是最小的，这个最小的和等于